Derive:

d )   y = s e c ( t g ( x ) )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

  y = s e c ( t g ( x ) )

Para fazer isso, vamos utilizar algumas derivadas conhecidas e a regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 2

A regra da cadeia diz que para uma função composta do tipo h ( x ) = f ( g ( x ) ) , temos que

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

em nosso caso temos que f ( g ) = s e c ( g ) e g ( x ) = t g ( x ) . Obtemos então que

d d x [ s e c ( t g ( x ) ) ] = d d g [ s e c ( g ) ] d d x [ t g ( x ) ]

Aqui agora vamos utilizar as derivadas conhecidas da secante e da tangente, note que ambas podem ser demonstradas utilizando identidades trigonométricas e a regra do quociente, mas isso é outra questão dessa mesma lista! Temos ambas resolvidas no próprio site se quiser dar uma olhada! Aqui vamos utilizar o resultado direto! Saca só!

Passo 3

Nós temos que

d d g [ s e c ( g ) ] = t g ( g ) s e c ( g )

e, também temos que

d d x [ t g ( x ) ] = s e c 2 ( x )

Agora vamos juntar todos os nossos resultados! E o resultado está nas nossas mãos! Saca só!

Passo 4

Usando que g = t g ( x ) , temos que a derivada se resume a

d d x [ s e c ( t g ( x ) ) ] = d d g [ s e c ( g ) ] d d x [ t g ( x ) ] = [ t g ( t g ( x ) ) s e c ( t g ( x ) ) ] [ s e c 2 ( x ) ]

Rearranjando os termos, obtemos que

d d x [ s e c ( t g ( x ) ) ] = s e c 2 ( x ) t g [ t g ( x ) ] s e c [ t g ( x ) ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ s e c ( t g ( x ) ) ] = s e c 2 ( x ) t g [ t g ( x ) ] s e c [ t g ( x ) ]

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