Determine a derivada de cada função:

(13) cos ⁡ x x 2 + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

h x = cos ⁡ x x 2 + 1

Como a gente tem um quociente de funções, nada mais justo que usar a regra do quociente na derivação. Lembra dela? Se não lembra, vamos relembrar:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' ( x ) g x 2

Onde f ( x ) é o nosso numerador e g ( x ) é o nosso denominador. Assim, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

h ' x = cos ⁡ x ' x 2 + 1 - cos ⁡ x x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

Repare que temos uma função polinomial, x 2 + 1 , e uma função trigonométrica, cos ⁡ x . Na polinomial, nós podemos aplicar a regra da potência, que é essa daqui:

d d x x n = n x n - 1

E na trigonométrica, temos um cosseno, que tem sua derivada tabelada dada por:

d d x cos ⁡ x = - sin ⁡ ( x )

Assim, juntando tudo na fórmula da regra do quociente, vamos ter:

h ' x = ( - sin ⁡ x ) x 2 + 1 - cos ⁡ x 2 x 2 - 1 + 0 x 2 + 1 2

h ' x = - sin ⁡ x ( x 2 + 1 ) - 2 x cos ⁡ x x 2 + 1 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- sin ⁡ x ( x 2 + 1 ) - 2 x cos ⁡ x x 2 + 1 2

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(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x