7. Seja a função f x = cos ⁡ x tan ⁡ x , x ∈ - π 2 , π 2 . Dê a expressão de f ' x .

(Sugestão: Faça ln ⁡ y = ln ⁡ cos ⁡ x tan ⁡ x e obtenha d y d x usando a regra da cadeia.)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos um derivada para resolver, mas ela é mais complicadinha do que o normal, pois temos uma função na base e no expoente.

y = cos ⁡ x tan ⁡ x

Se tentarmamos aplicar a regra da cadeia direto nessa função para derivar, ainda assim será complicado. Mas fica tranquilo, que o próprio enunciado deu uma dica para usarmos a seguinte igualdade,

ln ⁡ y = ln ⁡ cos ⁡ x tan ⁡ x

Você pode pensar que continuamos com o mesmo problema, pois temos função de x na base e no expoente. Mas agora podemos aplicar a seguinte propriedade de logaritmo

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Sendo, assim a gente pode passar o expoente para frente do logaritmo, multiplicando, fica assim:

ln ⁡ y = ln ⁡ cos ⁡ x tan ⁡ x = tan ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x

Pronto! Agora vamos derivar a nossa função dos dois lados!

Passo 2

Galerinha, para calcular essa derivada, vamos fazer uma derivação implícita!

( ln ⁡ y ) ' = tan ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x '

Derivando o lado esquerdo em função de y , ficamos com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Agora vamos derivar o lado direito!

Passo 3

Para calcular tan ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x ' , vamos aplicar a regra do produto primeiro:

tan ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x ' = ( tan ⁡ x ) ' ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) + ( tan ⁡ x ) ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) '

Fazendo a derivada da tangente ficamos com,

tan ⁡ x ' = 1 cos 2 ⁡ x

Agora para achar ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) ' , vamos aplicar a regra da cadeia,

( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) ' = cos ⁡ x ' ln ' ⁡ cos ⁡ x

( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) ' = - sin ⁡ x 1 cos ⁡ x

( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) ' = - tan ⁡ x

Juntando tudo, ficamos com,

tan ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x ' = 1 cos 2 ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) + tan ⁡ x - tan ⁡ x

tan ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x ' = 1 cos 2 ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - tan 2 ⁡ x

Passo 4

Voltando para a derivada implícita, ficamos com

( ln ⁡ y ) ' = tan ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x '

1 y y ' = 1 cos 2 ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - tan 2 ⁡ x

Passando y para o outro lado ficamos com,

y ' = y 1 cos 2 ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - tan 2 ⁡ x

Mas lembra que,

y = cos ⁡ x tan ⁡ x

Então,

y ' = cos ⁡ x tan ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - tan 2 ⁡ x

Prontinho!

Resposta

y ' = cos ⁡ x tan ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - tan 2 ⁡ x

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