Derive:

b )   y = 2 s e n ( π x )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

y = 2 s e n ( π x )           ( 1 )  

Para calcular esta derivada vamos precisar de algumas derivadas conhecidas, mas em particular vamos precisar tirar este seno do expoente! Uma boa maneira de fazer isso é aplicando a seguinte propriedade do logaritmo

l n ( a b ) = b   l n ( a )

Consegue enxergar porquê? Vem comigo!

Passo 2

Vamos primeiro aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação (1), temos que

l n ( y ) = l n ( 2 s e n ( π x ) )

Utilizando a propriedade que apresentei no passo anterior, podemos reescrever nossa função como

l n ( y ) = s e n ( π x ) l n ( 2 )

Maravilha! Agora é só derivar dos dois lados! MAS, espere um segundo, queremos a derivada de y e não de l n ( y ) ! Será que tem um jeito de resolver isso? Tem sim! Saca só!

Passo 3

Usando a regra da cadeia

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d f ( g ) d g d g ( x ) d x

Se identificarmos que em nossa função f = l n ( g ) e g = y ( x ) , lembrando a derivada do logaritmo e usando a regra da cadeia, temos

d d x [ l n ( y ) ] = 1 y d y d x

Ótimo! Agora vamos usar isso para resolver a nossa questão!

Passo 4

Temos a seguinte função para calcular a derivada

l n ( y ) = s e n ( π x ) l n ( 2 )

Se derivarmos dos dois lados, temos que

d d x [ l n ( y ) ] = l n ( 2 ) d d x [ s e n ( π x ) ]

Lembre que l n ( 2 ) é apenas um número, então a gente pode tirar ele da derivada! O lado esquerdo já fizemos no passo anterior, e portanto, temos que

1 y d y d x = l n ( 2 ) d d x [ s e n ( π x ) ]

Isolando a derivada que desejamos, lembrando que y = 2 s e n ( π x ) , podemos escrever a nossa derivada como

d y d x = 2 s e n ( π x ) d d x [ s e n ( π x ) ]

Você lembra dessa derivada que falta? Vem comigo!

Passo 5

A derivada restante é uma derivada conhecida, temos que

d d x [ s e n ( π x ) ] = π   c o s ( π x )

e, portanto, finalmente, temos que

d y d x = 2 s e n ( π x ) π   c o s ( π x ) = π   2 s e n ( π x ) c o s ( π x )

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ 2 s e n ( π x ) ] = π   2 s e n ( π x ) c o s ( π x )

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x