6. Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal? Se não tem, por que não?

b. f x = e x sin ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos encontrar em quais valores de x o gráfico de f terá uma reta tangente horizontal.

Para que uma reta seja horizontal, o coeficiente angular dela tem que ser igual a zero. Ou seja, a equação da reta tangente será:

y = a

Onde, a é uma constante qualquer.

Mas para resolver essa questão, também temos que lembrar que para encontrar a reta tangente a uma curva, usamos a seguinte equação:

y - y 0 = y ' x - x 0

Onde x 0 , y 0 são os pontos na curva e y ' é a derivada no ponto x 0 .

Ou seja, para que a reta tangente a uma curva seja horizontal, o termo y ' tem que ser zero. Em outras palavras, f terá uma reta tangente horizontal nos pontos onde a derivada de f for igual a zero.

Então bora lá!

Passo 2

Temos então a seguinte função,

y = e x sin ⁡ x

Para fazer essa derivada vamos aplicar a regra do produto

y ' = e x sin ⁡ x + e x cos ⁡ x

y ' = e x ( sin ⁡ x + cos ⁡ x )

Agora precisamos igualar a zero.

Passo 3

Igualando a zero ficamos com

e x sin ⁡ x + cos ⁡ x = 0

Como a parte e x sempre será diferente de zero, para essa função zerar temos que

sin ⁡ x + cos ⁡ x = 0

sin ⁡ x = - cos ⁡ x

Através dos ângulos notáveis para as funções seno e cosseno, temos que essa igualdade será verdade para:

x = k π - π 4

Onde k ∈ Z .

Resposta

x = k π - π 4 ,   k ∈ Z

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x