Suponha que a função diferenciável z = f ( x , y ) é dada implicitamente por x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z = 1 + z 4 . Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

Passo 1

Fala aí gente, tudo tranquilo?

Nessa ilustríssima questão precisamos calcular as derivadas parciais (em relação a x e a y ) de uma função de duas variáveis que está definida implicitamente. É a função z = f x , y ,   que está definida implicitamente como:

x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z = 1 + z 4

E queremos encontrar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

Show de bola! Mas, como é que podemos derivar essa coisa se não conseguimos nem mesmo isolar o z ?

Então galerinha, esse é justamente o grande ponto das derivadas implícitas. Algumas funções não são determinadas por uma expressão bonitinha, e temos apenas uma equação relacionando a nossa função, e as variáveis que ela depende.

Nesses casos, precisamos derivar os dois lados da equação em relação uma variável que (aqui será em relação a x e y ), e depois buscamos isolar a derivada da função   ∂ z ∂ x   e   ∂ z ∂ y .

Beleza?

Então bora lá 😉

Passo 2

Vamos começar derivando os dois lados da nossa equação:

x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z = 1 + z 4

em relação a x . Assim, buscamos calcular ∂ z / ∂ x .

Importante reforçar que, como trata-se de uma derivada parcial, y vai funcionar como uma constante, enquanto z é uma função de x .

Massa!

∂ x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z ∂ x = ∂ 1 + z 4 ∂ x

Vamos trabalhar o lado esquerdo!

Usando que a derivada da soma é a soma das derivadas, temos:

∂ ( x 3 c o s y ) ∂ x + ∂ e 3 x y 2 ∂ x + ∂ ( x 2 y 4 z ) ∂ x

Como y é uma constante, vamos colocá-lo para fora de cada uma dessas derivadas:

cos ⁡ y ⋅ ∂ x 3 ∂ x + ∂ e 3 y 2 x ∂ x + y 4 ⋅ ∂ ( x 2 z ) ∂ x

Agora vamos realizar as derivações normalmente:

∂ x 3 ∂ x = 3 x 2

Já para o próximo termo, devemos lembrar que:

∂ e α x ∂ x = α ⋅ e α x

Assim:

∂ e 3 y 2 x ∂ x = 3 y 2 ⋅ e 3 y 2 x

Por fim, precisamos calcular:

∂ ( x 2 z ) ∂ x

Como temos o produto de funções de x , vamos usar a regra do produto:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Assim:

∂ ( x 2 z ) ∂ x = x 2 ⋅ ∂ z ∂ x + z ⋅ ∂ x 2 ∂ x

= x 2 ⋅ ∂ z ∂ x + z ⋅ ( 2 x )  

Excelente! Substituindo tudo na última expressão que chegamos para a derivada do lado esquerdo:

cos ⁡ y ⋅ ∂ x 3 ∂ x + ∂ e 3 y 2 x ∂ x + y 4 ⋅ ∂ ( x 2 z ) ∂ x

Ficamos com:

cos ⁡ y ⋅ 3 x 2 + 3 y 2 ⋅ e 3 y 2 x + y 4 ⋅ x 2 ⋅ ∂ z ∂ x + z ⋅ 2 x

Muito bom!

Passo 3

Vamos agora trabalhar com o lado direto da derivada:

∂ x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z ∂ x = ∂ 1 + z 4 ∂ x

Separando novamente as somas, temos:

∂ 1 + z 4 ∂ x = ∂ 1 ∂ x + ∂ z 4 ∂ x

A derivada de uma constante é sempre nula, e z é como uma função de x . Assim:

∂ 1 + z 4 ∂ x = 0 + 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ x

= 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ x  

Perfeito! Igualando os dois lados que trabalhamos vamos ter:

∂ x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z ∂ x = ∂ 1 + z 4 ∂ x

cos ⁡ y ⋅ 3 x 2 + 3 y 2 ⋅ e 3 y 2 x + y 4 ⋅ x 2 ⋅ ∂ z ∂ x + z ⋅ 2 x = 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ x  

Lembra que o nosso objetivo é calcular ∂ z / ∂ x   , então vamos tentar isolar esse termo:

cos ⁡ y ⋅ 3 x 2 + 3 y 2 ⋅ e 3 y 2 x + y 4 x 2 ⋅ ∂ z ∂ x + y 4 z 2 x = 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ x

Passando tudo que tem ∂ z / ∂ x para o lado direito:

cos ⁡ y ⋅ 3 x 2 + 3 y 2 ⋅ e 3 y 2 x + 2 y 4 z x = 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ x - y 4 x 2 ⋅ ∂ z ∂ x

cos ⁡ y ⋅ 3 x 2 + 3 y 2 ⋅ e 3 y 2 x + 2 y 4 z x = ∂ z ∂ x 4 z 3 - y 4 x 2

Por fim, temos:

∂ z ∂ x = cos ⁡ y ⋅ 3 x 2 + 3 y 2 ⋅ e 3 y 2 x + 2 y 4 z x 4 z 3 - y 4 x 2

Prontinho! A primeira parte já foi 😊

Passo 4

Nossa missão agora é calcular ∂ z ∂ y !

Mas, não se preocupa, vai ser bem semelhante ao que fizemos no passo 2 .

Vamos derivar os dois lados da equação:

x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z = 1 + z 4

em relação a y .

∂ x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z ∂ y = ∂ 1 + z 4 ∂ y

Novamente, bora começar manipulando o lado esquerdo da equação:

∂ x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z ∂ y

Usando que a derivada da soma é a soma das derivadas:

∂ ( x 3 c o s y ) ∂ y + ∂ e 3 x y 2 ∂ y + ∂ ( x 2 y 4 z ) ∂ y

Agora, x é como uma constante. Colocando-o pra fora das derivadas parciais:

x 3 ⋅ ∂ cos ⁡ y ∂ y + ∂ e 3 x y 2 ∂ y + x 2 ⋅ ∂ ( y 4 z ) ∂ y

Calculando cada derivada separadamente:

∂ cos ⁡ y ∂ y = - s e n   y

No próximo termo, da derivada exponencial, temos:

∂ e 3 x y 2 ∂ y = ∂ e 3 x ⋅ y 2 ∂ y

Chamando y 2 de u , ficamos com:

∂ e 3 x ⋅ y 2 ∂ y =   ∂ e 3 x ⋅ u ∂ y

Então, precisamos usar a regra da cadeia:

f u y ' = d f d u ⋅ d u d y

Logo:

∂ e 3 x ⋅ u ∂ y = 3 x ⋅ e 3 x ⋅ y 2 ⋅ d y 2 d y

= 6 x y ⋅ e 3 x ⋅ y 2

Boa, deu um trabalhinho, mas saiu.

Por fim, temos de novo o produto de duas funções (mas agora de y ):

∂ ( y 4 z ) ∂ y

Usando a regra do produto:

∂ ( y 4 z ) ∂ y = y 4 ⋅ ∂ z ∂ y + z ⋅ ∂ y 4 ∂ y

= y 4 ⋅ ∂ z ∂ y + z ⋅ ( 4 y 3 )  

Boa! Substituindo tudo de volta no lado esquerdo da equação, temos:

x 3 ⋅ ∂ cos ⁡ y ∂ y + ∂ e 3 x y 2 ∂ y + x 2 ⋅ ∂ y 4 z ∂ y

= x 3 ⋅ - s e n   y + 6 x y ⋅ e 3 x ⋅ y 2 + z ⋅ y 4 ⋅ ∂ z ∂ y + z ⋅ 4 y 3

Perfeito!

Passo 5

Como já derivamos o lado esquerdo da equação:

∂ x 3 c o s y + e 3 x y 2 + x 2 y 4 z ∂ y = ∂ 1 + z 4 ∂ y

Vamos para o lado direito:

∂ 1 + z 4 ∂ y

Separando a soma:

∂ 1 ∂ y + ∂ z 4 ∂ y

Como a derivada de uma constante é nula, e usando também a derivada polinomial:

∂ 1 + z 4 ∂ y = 0 + 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ y

= 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ y  

Excelente! Igualando os dois lados que manipulamos:

x 3 ⋅ - s e n   y + 6 x y ⋅ e 3 x ⋅ y 2 + z ⋅ y 4 ⋅ ∂ z ∂ y + z ⋅ 4 y 3 = 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ y

x 3 ⋅ - s e n   y + 6 x y ⋅ e 3 x ⋅ y 2 + z ⋅ y 4 ⋅ ∂ z ∂ y + z 2 4 y 3 = 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ y

Passando todos os termos com ∂ z / ∂ y pro lado direito:

x 3 ⋅ - s e n   y + 6 x y ⋅ e 3 x ⋅ y 2 + z 2 4 y 3 = 4 z 3 ⋅ ∂ z ∂ y - z ⋅ y 4 ⋅ ∂ z ∂ y

x 3 ⋅ - s e n   y + 6 x y ⋅ e 3 x ⋅ y 2 + z 2 4 y 3 = ∂ z ∂ y 4 z 3 - z ⋅ y 4

Por fim, isolando ∂ z ∂ y , temos:

∂ z ∂ y = x 3 ⋅ - s e n   y + 6 x y ⋅ e 3 x ⋅ y 2 + z 2 4 y 3 4 z 3 - z ⋅ y 4

Resposta

∂ z ∂ x = cos ⁡ y ⋅ 3 x 2 + 3 y 2 ⋅ e 3 y 2 x + 2 y 4 z x 4 z 3 - y 4 x 2

∂ z ∂ y = x 3 ⋅ - s e n   y + 6 x y ⋅ e 3 x ⋅ y 2 + z 2 4 y 3 4 z 3 - z ⋅ y 4

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