Considere a função y   =   f ( x ) definida implicitamente abaixo

x + s i n ( y ) + x y   =   1

O valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,0 ) é:

Podemos afirmar:

  1. - 2
  2. - 1
  3. 1 / 2
  4. 0
  5. - 1 / 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é descobrir qual é o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,0 )

x + s i n ( y ) + x y   =   1

Como fazemos isso? Bem, primeiro, quem é o coeficiente angular da reta tangente? é a derivada, né? Então precisamos calcular a derivada implicita!! Lembram dela? É uma regra da cadeia mais marota. Derivamos normalmente em relação a x e quando formos derivar y usamos o fato que

d d x y   =   y '

ou seja, usamos a notação de derivada no y . Simples, né? Então vamos nessa!!!!

Derivando a função temos:

d d x ( x + s i n ( y ) + x y   ) = d d x   1

Usando a linearidade da derivada

⇒ 1   +   d d x s i n ( y ) + d d x x y = 0

Agora, usamos a regra do produto

⇒ 1   +   d d x s i n ( y ) + y + x y ' = 0

E essa parte é a complicada, pois precisamos lembrar que y é uma função de x então temos que aplicar a regra da cadeia, e por fim temos que

⇒ 1   +   c o s ( y ) y ' + y + x y ' = 0

Olha que legal, agora podemos substituir os valores de x , y por ( 1,0 ) para obtermos o valor de y ' nesse ponto. Então temos:

1   +   c o s ( y ) y ' + y + x y ' = 0

Substituindo os valores de x , y

1   +   c o s ( 0 ) y ' + 0 + 1 y ' = 0

⇒ 1 + y ' + y ' = 0

⇒ y ' =   - 1 2

Que é a resposta presente na letra e )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e )

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O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x