Encontre a derivada das seguintes funções:

a)  f ( x ) = s e n ⁡ ( x ) ⋅ c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Vamos encontrar a derivada da função f ( x ) = s i n ⁡ ( x ) ⋅ c o s ⁡ ( x ) usando a regra do produto para derivadas.

A regra do produto afirma que a derivada de um produto de duas funções é dada pela derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, somada à primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

Portanto, para a função f ( x ) = s i n ⁡ ( x ) ⋅ c o s ⁡ ( x ) , aplicamos a regra do produto:

f ' ( x ) = ( s i n ⁡ ( x ) ) ' ⋅ c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ⋅ ( c o s ⁡ ( x ) ) '

Passo 2

A derivada de s i n ⁡ ( x ) é c o s ⁡ ( x ) , e a derivada de c o s ⁡ ( x ) é - s i n ⁡ ( x ) :

f ' ( x ) = c o s ⁡ ( x ) ⋅ c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ⋅ ( - s i n ⁡ ( x ) )

Simplificando:

f ' ( x ) = c o s 2 ⁡ ( x ) - s i n 2 ⁡ ( x )

Usando a identidade trigonométrica c o s 2 ⁡ ( x ) - s i n 2 ⁡ ( x ) = c o s ⁡ ( 2 x ) :

f ' ( x ) = c o s ⁡ ( 2 x )

Resposta

Portanto, a derivada da função f ( x ) = s i n ⁡ ( x ) ⋅ c o s ⁡ ( x ) em relação a x é f ' ( x ) = c o s ⁡ ( 2 x )

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(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
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Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = c o t gx