Derive:

c )   y = c o t g ( x 2 )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

  y = c o t g ( x 2 )

Para fazer isso, vamos utilizar algumas derivadas conhecidas e a regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 2

A regra da cadeia diz que para uma função composta do tipo h ( x ) = f ( g ( x ) ) , temos que

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

em nosso caso temos que f ( g ) = c o t g ( g ) e g ( x ) = x 2 . Obtemos então que

d d x [ c o t g ( x 2 ) ] = d d g [ c o t g ( g ) ] d d x [ x 2 ]

Aqui vamos utilizar agora a regra do tombo e a derivada conhecida da cotangente, note que a derivada da cotangente pode ser demonstrada utilizando identidades trigonométricas e a regra do quociente, é uma questão desta própria lista e está em nosso site! Aqui vamos utilizar o resultado direto! Vem comigo!

Passo 3

Nós temos que

d d g [ c o t g ( g ) ] = c o s e c 2 ( g )

e, pela regra do tombo temos

d d x [ x n ] = n x n - 1

ou seja, com n = 2 , temos que

d d x [ x 2 ] = 2 x 2 - 1 = 2 x

Agora vamos juntar todos os nossos resultados! E o resultado está nas nossas mãos! Saca só!

Passo 4

Usando que g = x 2 , temos que a derivada se resume a

d d x [ c o t g ( x 2 ) ] = d d g [ c o t g ( g ) ] d d x [ x 2 ] = [ c o s e c ( x 2 ) ] [ 2 x ]

Rearranjando os termos, obtemos que

d d x [ c o t g ( x 2 ) ] = 2   x   c o s e c ( x 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ c o t g ( x 2 ) ] = 2   x   c o s e c ( x 2 )

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x