23 – Seja y = cos ⁡ x . Verifique que d 2 y d x 2 + y = 0 .

Passo 1

Fala aí!! Tudo certinho por aí? Essa questão está um pouco complicada? Fica tranquilo que vou te ajudar e entende-la melhor. 😉👍

O problema deu pra gente a função

y = cos ⁡ x

E pediu pra gente verificar se

d 2 y d x 2 + y = 0

Na verificação precisaremos fazer a derivada de segunda ordem de y em ralação a x que é esses d 2 y d x 2 , depois devemos somar essa derivada a y , lembrando que y = cos ⁡ x , e isso tem que ser igual a zero. Ou seja, se a gente fizer tudo certinho, o lado esquerdo terá que dar zero. Sacou?!

Bom, então vamos precisar de todas as partes dessa relação, e para isso precisamos saber quem é y e quem é d 2 y d x 2 .

Bora descobrir! Partiu?!😎

Passo 2

O enunciado já nos disse que y = cos ⁡ x

Mas ainda precisamos achar d 2 y d x 2 , e para isso vamos começar fazendo a derivada de primeira ordem de y .

Como y = cos ⁡ x é uma função trigonométrica, sua derivada já é tabelada e é dado por:

y = cos ⁡ x

d y d x = - sen ⁡ x

Belezinha, agora para achar a derivada de segunda ordem nós pegamos o resultado da derivada de primeira ordem e derivamos novamente. Lembrando que a derivada do seno é igual ao cosseno e mantemos o sinal negativo.

Assim,

d 2 y d x 2 = - cos ⁡ x

Passo 3

Maravilha, agora o que nos resta é colocar tudo na relação que o problema deu pra gente, que é essa aqui:

d 2 y d x 2 + y = 0

Substituindo d 2 y d x 2 por - cos ⁡ x e y por cos ⁡ x ficamos com:

- cos ⁡ x + cos ⁡ x   = 0

Perceba que o lado esquerdo da equação é composto de duas parcelas simétricas que dará zero, mostrando que a relação é verdadeira.

E é isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x