Mostre que D x 1 g x = - D x ( g ) g x 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que:

D x 1 g x = - D x ( g ) g x 2

Então, nós temos que verificar a derivada de 1 g x em relação a x , por isso o operador D x , pra ver se ela é igual a - D x ( g ) g x 2 .

Bom, nós temos um quociente, então, pra derivar, vamos precisar usar a regra do quociente:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' ( x ) g x 2

Só que o nosso f ( x ) é uma constante, igual a 1 . E a gente sabe que a derivada de uma constante é sempre zero. Sendo assim, vamos derivar segundo a fórmula e ver se chegamos ao resultado que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

D x 1 g x = 1 ' ( g x ) - 1 g ( x ) ' g ( x ) 2

Nós já vimos que a derivada da constante é nula, então:

D x 1 g x = 0 ∙ ( g x ) - 1 g ( x ) ' g ( x ) 2

A derivada de g ( x ) , também pode ser escrita na forma D x ( g ) . Assim, temos:

D x 1 g x = 0 - D x ( g ) g ( x ) 2

Então, de fato:

D x 1 g x = - D x ( g ) g ( x ) 2

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x