Calcule a derivada das funções trigonométricas:

c )   y = c o t g ( x )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função trigonométrica

y = c o t g ( x )

Para fazer isso, vamos utilizar as derivadas do cosseno e do seno que são conhecidas, assim como identidades trigonométricas que possibilitem escrever nossa função em termos do seno e cosseno! Por último, vamos aplicar aqui a regra do quociente para obter derivadas mais simples! Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa que dizemos lembrar que a função cotangente é definida como

y = c o t g ( x ) = 1 t g ( x )

Como temos que t g ( x ) = s e n ( x ) / c o s ( x ) , podemos utilizar propriedades da fração para escrever que

c o t g ( x ) = 1 t g ( x ) = c o s ( x ) s e n ( x )

Portanto, para calcularmos a derivada desejada, precisamos calcular o seguinte

y ' = d d x [ c o t g ( x ) ] = d d x [ c o s ( x ) s e n ( x ) ]

Desta maneira agora podemos utilizar a regra do quociente para escrever nossa derivada em termos da derivada do cosseno! Vamos fazer isso!

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, temos que

y ' = d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) g ( x ) 2

em que temos f ( x ) = c o s ( x ) e g ( x ) = s e n ( x ) , portanto

d d x [ c o s ( x ) s e n ( x ) ] = d d x [ c o s ( x ) ] s e n ( x ) - c o s ( x ) d d x [ s e n ( x ) ] s e n 2 ( x )

Dá uma olhada em seu formulário para lembrar estas derivadas e daí vem comigo checar o resultado!

Passo 4

Usando que

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

e, também que

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

Podemos escrever nossa derivada como

d d x [ c o s ( x ) s e n ( x ) ] = d d x [ c o s ( x ) ] s e n ( x ) - c o s ( x ) d d x [ s e n ( x ) ] s e n 2 ( x ) = [ - s e n ( x ) ] s e n ( x ) - c o s ( x ) [ c o s ( x ) ] s e n 2 ( x )

fazendo as multiplicações, temos que o nossa derivada fica da seguinte maneira

d d x [ c o s ( x ) s e n ( x ) ] = - [ s e n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) ] s e n 2 ( x )

Consegue simplificar isso mais um pouco? Precisamos lembrar de algumas identidades trigonométricas! Saca só!

Passo 5

Lembrando que c o s 2 ( x ) + s e n 2 ( x ) = 1 , temos que a nossa derivada pode ser escrita como

d d x [ c o s ( x ) s e n ( x ) ] = - [ s e n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) ] s e n 2 ( x ) = - 1 s e n 2 ( x )

e, também que

1 / s e n ( x ) = c o s e c ( x )

utilizando isso, temos que a nossa derivada original é

d d x [ c o t g ( x ) ] = - c o s e c 2 ( x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ c o t g ( x ) ] = - c o s e c 2 ( x )

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