24 – Seja y = e x cos ⁡ x . Verifique que d 2 y d x 2 - 2 d y d x + 2 y = 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Já chegamos até aqui, então vamos resolver mais umazinha pra conta? 😉👍

O primeiro passo sempre é tentar entender o que devemos fazer na questão.

Calma! Não desiste não, eu tô com você!

O problema deu pra gente a função

y = e x cos ⁡ x

E pediu pra gente verificar se

d 2 y d x 2 - 2 d y d x + 2 y = 0

Na verificação precisaremos da derivada de y em ralação a x , que é esses d y d x , e também precisaremos da derivada de segunda ordem de y e relação a x , que é esse d 2 y d x 2 aí. Depois devemos aplicar tudo nessa relação, e isso tem que ser igual a zero. Ou seja, se a gente fizer tudo certinho, o lado esquerdo terá que dar zero. Sacou?!

Bom, então vamos precisar de todas as partes dessa relação, e para isso precisamos saber quem é y , que é d y d x e quem é d 2 y d x 2 .

Bora descobrir! Partiu?!😎

Passo 2

O enunciado já nos disse que y = e x cos ⁡ x

Mas precisamos achar d y d x . E para fazer essa derivada nós devemos observar primeiro que a função y = e x cos ⁡ x é um produto da função e x pela função cos ⁡ x . Assim, vamos usar a regra do produto, que diz que:

Se

y = g x ⋅ h x

Então

d y d x = g ' x ⋅ h x + g x ⋅ h ' x

E chamando

g x = e x

Ficamos com

g ' x = e x

E para

h x = cos ⁡ x

e

h ' x = - sen ⁡ x

Agora basta substituir na regra do produto:

d y d x = e x ⋅ cos ⁡ x + e x ⋅ - sen ⁡ x

Que pode ser escrito como

d y d x = e x ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x

Show de bola, a primeira parte já foi!

Passo 3

Agora vamos encontrar a derivada de segunda ordem de y , dada por d 2 y d x 2 . Para isso, vamos pegar a primeira derivada que acabamos de calcular e derivar novamente.

d y d x = e x ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x

Repare que temos um produto mais uma vez. Agora estamos multiplicando e x por cos ⁡ x - sen ⁡ x . Então, vamos aplicar a regra do produto, sendo.

g x = e x

e

g ' x = e x

e para

h x = cos ⁡ x - sen ⁡ x

teremos

h ' x = - sen ⁡ x - cos ⁡ x

Agora é só substituir na regra do produto

d 2 y d x 2 = g ' x ⋅ h x + g x ⋅ h ' x

d 2 y d x 2 = e x ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x + e x ⋅ - sen ⁡ x - cos ⁡ x

Arrumando melhor teremos:

d 2 y d x 2 = e x ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ x - cos ⁡ x

d 2 y d x 2 = - 2 e x sen ⁡ x

Passo 4

Maravilha, agora o que nos resta é colocar tudo na relação que o problema deu pra gente, que é essa aqui:

d 2 y d x 2 - 2 d y d x + 2 y = 0

Lembrando que

y = e x cos ⁡ x

d y d x = e x ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x

d 2 y d x 2 = - 2 e x sen ⁡ x

Substituindo tudo, ficaremos com:

- 2 e x sen ⁡ x - 2 e x ⋅ cos ⁡ x - sen ⁡ x + 2 e x cos ⁡ x = 0

Fazendo a distributiva de - 2 e x ⋅ cos ⁡ x - sem ⁡ x , nossa relação se torna:

- 2 e x sen ⁡ x - 2 e x cos ⁡ x + 2 e x sen ⁡ x + 2 e x cos ⁡ x = 0

Perceba que o lado esquerdo da equação é composto de dois pares de parcelas simétricas, o que dará zero, mostrando que a relação é verdadeira.

E é isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Demonstração.

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