Encontre d n d x n   l n ⁡ ( x )

Passo 1

Oi, gente!! Tudo bem? Olha, nessa questão vamos primeiro fazer exatamente o que é pedido, derivarmos a função l n ⁡ ( x ) várias vezes (n vezes), só que a ideia aqui não é derivar infinitamente, mas sim perceber que provavelmente poderemos encontrar uma forma de explicitar essa derivada n vezes quanto for necessário.

Para começar nossa vida nessa questão, vamos chamar de f x = l n ⁡ ( x ) e a partir de agora, partiu derivadasss!!!

Passo 2

Fazendo a primeria derivada, vamos ter:

f ' x = 1 x

Perceba o seguinte: Se utilizarmos a derivada com essa carinha, vamos ter que aplicar a regra do quociente, mas vamos usar da malandragem aqui e vamos escrever da seguinte forma:

f ' ( x ) = x - 1

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada

f ' ' x = - x - 2 = - 1 x 2

Vamos pra terceira derivada:

f ' ' ' x = 1 x 3

Para a quarta:

f ' ' ' ' x = - 1 x 4

Passo 4

Ok, vamos parar de derivar aí e agora analisar.

Bem, a primeira coisa que percebemos é que, o grau da variável x acompanha exatamente a ordem da derivada, ou seja, pra primeira, segunda e terceira derivada, por exemplo, a ordem de x é 1, 2 e 3, respectivamente.

Mas agora, perceba outra coisa importantíssima!!! O sinal de negativo aparece nas derivadas que tem ordem PAR, e aí como escrever isso, né?

- 1 n - 1

Esse é o grande macete dessa questão que quero que você lembre disso PRA SEMPRE!! Toda vez que um sinal ficar alternando entre positivo e negativo, você pode descrever esse sinal exatamente da forma como explicitei acima.

Passo 5

Com as observações dadas no passo 4, podemos escrever que:

d n d x n ln ⁡ x = - 1 n - 1 x n

Resposta

d n d x n ln ⁡ x = - 1 n - 1 x n

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(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
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Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = c o t gx