Derive:

n) y = cos ⁡ x 2 + 3

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos dado que f x = cos ⁡ x 2 + 2 , assim f x + h = cos ⁡ x + h 2 + 3 . De forma que temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x + h 2 + 3 - cos ⁡ x 2 + 2 h

Sabendo que a soma dos limites é o limite da soma, podemos fazer:

f ' x = lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x + h 2 + 3 - cos ⁡ x 2 + 2 h = lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x + h 2 + 3 h - lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x 2 + 2 h

E agora sim podemos fazer ambos os limites separadamente e finalmente acharmos a nossa derivada. Vamos lá?!

Passo 3

Para o primeiro:

lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x + h 2 + 3 h

Primeiramente veja que se fizermos h = 0 teremos uma indeterminação:

lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x + h 2 + 3 h = cos ⁡ x 2 + 3 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x + h 2 + 3 h = lim h → 0 ⁡   d d h cos ⁡ x + h 2 + 3 d d h h

E agora que temos a derivada do cosseno, sabe como é? A saber:

d d x cos ⁡ x = x ' - sin ⁡ x

Se quiser, isso pode ser provado exatamente como estamos fazendo agora. Espero que tente!! x ' é a derivada do argumento do cosseno. Assim:

d d h cos ⁡ x + h 2 + 3 = d d h x + h 2 + 3 ⋅ - sin ⁡ x + h 2 + 3

R agora temos outro problema que é derivar x + h 2 + 3 com relação à h . Sabe como fazer? É a famosa regra do tombo, a saber:

d d x x n = n   x n - 1   x '

Sendo n o expoente. Assim:

d d h x + h 2 + 3 = 2   ⋅ x + h

Assim concluímos que:

d d h x + h 2 + 3 ⋅ - sin ⁡ x + h 2 + 3 = 2 x + h ⋅ - sin ⁡ x + h 2 + 3

E logo:

lim h → 0 ⁡   d d h cos ⁡ x + h 2 + 3 d d h h = lim h → 0 ⁡   2 x + h ⋅ - sin ⁡ x + h 2 + 3 1

E agora sim se fizermos h = 0 :

lim h → 0 ⁡   2 x + h ⋅ - sin ⁡ x + h 2 + 3 1 = - 2 x sin ⁡ x 2 + 3

E achamos o valor do nosso primeiro limite. Agora vamos fazer para o segundo?

lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x 2 + 2 h

Novamente, veja que se fizermos h = 0 dará uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x 2 + 2 h = cos ⁡ x 2 + 2 0

E quando temos uma indeterminação significa que novamente podemos usar a regra de l’hospital

Assim derivando:

lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x 2 + 2 h = lim h → 0 ⁡   d d h cos ⁡ x 2 + 2 d d h h

mas calma, calma... Veja que cos ⁡ x 2 + 2 é constante para h , ou seja, não depende de h . E sabemos que a derivada é variação, e se não varia, significa que a derivada é nula. Concluindo:

lim h → 0 ⁡   d d h cos ⁡ x 2 + 2 d d h h = 0 1

E, portanto:

lim h → 0 ⁡ 0 1 = 0

E achamos o valor do nosso segundo limite.

Agora que achamos tudo, vamos ver como ficou nossa derivada?

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Passo 4

Então tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x + h 2 + 3 h - lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x 2 + 2 h

E achamos:

lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x + h 2 + 3 h - lim h → 0 ⁡   cos ⁡ x 2 + 2 h = - 2 x ⋅ sin ⁡ x 2 + 3 - 0

Logo concluímos que:

f ' x = - 2 x ⋅ sin ⁡ x 2 + 3

E achamos, portanto, a derivada de f x = cos ⁡ x 2 + 2

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

f ' x = y ' = - 2 x ⋅ sin ⁡ x 2 + 3

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(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x