9. Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a intensidade da força é

F = μ m g μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ

Onde μ é uma constante chamada coeficiente de atrito.

  1. Encontre a taxa de variação de F em relação a θ .
  2. Quando essa taxade variação é igual a 0 ?

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Temos um probleminha meio físico para resolver. Mas fique tranquilo que podemos resolvê-lo, sem saber física, apenas com os nossos conhecimentos de cálculo.
  2. Por exemplo, de cara ele pede para acharmos a taxa de variação de F em relação a θ . Em outras palavras, o que ele quer saber é

    d F / d θ

    O enunciado nos disse quem em é a função F . Então bora derivar em função de θ !

    Passo 2

    Temos que,

    F = μ m g μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ

    E precisamos derivar para achar a d F / d θ . Para fazer isso, vamos aplicar a regra do quociente. Fica assim:

    d F d θ = μ m g ' μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - μ m g μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ' μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

    d F d θ = ( 0 ) μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - μ m g μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

    d F d θ = - μ m g μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

    Prontinho! Já resolvemos a letra a .

    Passo 3

  3. Agora precisamos descobrir quando essa taxa de variação é igual a 0 . Ou seja, queremos saber quando

d F d θ = 0

Como já sabemos quem é d F d θ , então só temos que igualar a zero.

- μ m g μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0

Passando o denominador para o outro lado multiplicando, vamos sumir com ele,

- μ m g μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ = 0

Como a parte μ m g nunca será zero, temos que a função irá zerar quando

μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ = 0

μ cos ⁡ θ = sin ⁡ θ

μ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

μ = tan ⁡ θ

Logo, a função irá zerar quando o arco cuja tangente será μ , ou seja,

θ = arctan ⁡ μ

Resposta

  1. d F d θ = - μ m g μ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2
  2. θ = arctan ⁡ μ

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O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x