Derive:

o )   f ( x ) = c o s 3 ( x 3 )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

  f ( x ) = c o s 3 ( x 3 )           ( 1 )  

Note que esta é uma função composta, ou seja, da forma

f ( x ) = g ( h ( x ) )

Ou seja, para calcularmos sua derivada, devemos usar a regra da cadeia, de forma que

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d g d h d h d x

Temos só que identificar o que é o que! Tenta fazer usando isso! E volta aqui checar o resultado! Vamos lá!

Passo 2

Temos que calcular

  d d x [ f ( x ) ] = d d x [ c o s 3 ( x 3 ) ]

podemos identificar então que g ( h ) = h 3 , em que h ( x ) = c o s ( x 3 ) . Vamos aplicar a regra da cadeia! Temos que

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ c o s 3 ( x 3 ) ] = d d h [ h 3 ] d d x [ c o s ( x 3 ) ]

pela regra do tombo podemos obter que

d d h [ h 3 ] = 3 h 3 - 1 = 3 h 2

Ou seja, como h = c o s ( x 3 ) , podemos escrever que

d d x [ c o s 3 ( x 3 ) ] = 3 c o s 2 ( x 3 ) d d x [ c o s ( x 3 ) ]

Mas ainda falta a outra derivada! Ela também é derivada de uma função composta! Portanto, consegue adivinhar o que vou fazer? Saca só!

Passo 3

Queremos calcular

d d x [ c o s ( x 3 ) ]

Como temos que a função é composta, temos que aplicar a regra da cadeia. Desta vez temos que g ( h ) = c o s ( h ) e h ( x ) = x 3 . Portanto, a regra da cadeia se torna

d d x [ c o s ( x 3 ) ] = d d h [ c o s ( h ) ] d d x [ x 3 ]

A derivada do cosseno é conhecida como

d d h [ c o s ( h ) ] = - s e n ( h )

lembre que h = x 3 . A outra derivada pode ser obtida usando a regra do tombo, ou seja, temos que

d d x [ x 3 ] = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

E, a derivada toma a seguinte forma

d d x [ c o s ( x 3 ) ] = - s e n ( x 3 ) ( 3 x 2 ) = - 3 x 2 s e n ( x 3 )

Vamos usar esse resultado em nossa derivada original!

Passo 4

Nós queremos calcular que

d d x [ c o s 3 ( x 3 ) ] = 3 c o s 2 ( x 3 ) d d x [ c o s ( x 3 ) ]

Usando o resultado do último passo, temos que

d d x [ c o s 3 ( x 3 ) ] = 3 c o s 2 ( x 3 ) ( - 3 x 2 s e n ( x 3 ) )

ou, rearranjando os termos

d d x [ c o s 3 ( x 3 ) ] = - 9 x 2 s e n ( x 3 ) c o s 2 ( x 3 )

Aí está! Bora para a próxima! Tchauzinho!

Resposta

d d x [ c o s 3 ( x 3 ) ] = - 9 x 2 s e n ( x 3 ) c o s 2 ( x 3 )

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