Considere as funções z = f x , y ,   x = s e n ( 2 t ) e y = cos ⁡ t .   Calcule d z d t .

Passo 1

Eaí pessoal, como vocês estão?

Esse exercício nos dá uma função de duas variáveis, f ( x , y ) , onde essas variáveis são uma função de um outro parâmetro t . Na forma:

x = s e n ( 2 t ) y = cos ⁡ t

Assim, sendo z = f ( x , y ) , o enunciado nos pede para calcular d z / d t .

Alguma ideia de como podemos fazer isso?

Bom, nesses casos de função de duas variáveis relacionadas a um mesmo parâmetro, podemos usar a regra da cadeia da seguinte forma:

d z d t = ∂ f x , y ∂ t = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Excelente! Essa expressão é bem importante hein, vamo gravar bem ela.

Assim, vamos buscar calcular esses termos para depois substituir na expressão e matar essa questão 😊

Passo 2

Como vimos no passo anterior, temos que:

d z d t = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Algo importante de perceber aqui é que, como não foi dada a expressão de f , nem de que forma ela depende de x ou de y , não conseguimos calcular ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y .

Mas, o enunciado nos falou que:

x = s e n ( 2 t ) y = cos ⁡ t

Assim, podemos calcular ∂ x / ∂ t :

∂ x ∂ t = d s e n 2 t ' d t

Usando que:

d s e n   α t d t = α ⋅ cos ⁡ ( α t )

Temos:

∂ x ∂ t = 2 ⋅ c o s ⁡ ( 2 t )

Calculando agora ∂ y / ∂ t :

∂ y ∂ t = d cos ⁡ t d t

Da própria tabela de derivadas, temos:

∂ y ∂ t =   - s e n ( t )

Show de bola.

Passo 3

Pra finalizar, podemos juntar tudo na expressão correta para a derivada pela regra da cadeia:

d z d t = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Usando que:

∂ x ∂ t = 2 ⋅ c o s ⁡ ( 2 t ) ∂ y ∂ t =   - s e n ( t )

Vamos ficar com:

d z d t = ∂ f ∂ x ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ 2 t + ∂ f ∂ y ⋅ ( - s e n   t )

Só dando uma arrumadinha:

d z d t = 2 cos ⁡ 2 t ⋅ ∂ f ∂ x - s e n   t ⋅ ∂ f ∂ y

Prontinho! Terminamos gente.Vocês curtiram? Responde Aí!

Resposta

2 cos ⁡ 2 t ⋅ ∂ f ∂ x - s e n   t ⋅ ∂ f ∂ y

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