6. Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal? Se não tem, por que não?

e. f x = x + sin ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos encontrar em quais valores de x o gráfico de f terá uma reta tangente horizontal.

Para que uma reta seja horizontal, o coeficiente angular dela tem que ser igual a zero. Ou seja, a equação da reta tangente será:

y = a

Onde, a é uma constante qualquer.

Mas para resolver essa questão, também temos que lembrar que para encontrar a reta tangente a uma curva, usamos a seguinte equação:

y - y 0 = y ' x - x 0

Onde x 0 , y 0 são os pontos na curva e y ' é a derivada no ponto x 0 .

Ou seja, para que a reta tangente a uma curva seja horizontal, o termo y ' tem que ser zero. Em outras palavras, f terá uma reta tangente horizontal nos pontos onde a derivada de f for igual a zero.

Então bora lá!

Passo 2

Temos então a seguinte função,

y = x + sin ⁡ x

Derivando,

y ' = 1 + cos ⁡ x

Agora temos que igualar a zero,

1 + cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = - 1

Os arcos cujos cossenos são - 1 são definidos em

x = 2 k + 1 π

Onde k   ∈ Z .

Resposta

x = 2 k + 1 π ,     k ∈ Z  

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x