Derive:

j )   f ( x ) = x + 1 x s e n ( x )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

f ( x ) = x + 1 x s e n ( x )           ( 1 )  

Note que a nossa função é da forma

f ( x ) = g ( x ) h ( x )

Ou seja, é um quociente de funções. Sendo assim, é conveniente utilizar a regra do quociente da forma

d d x [ g ( x ) / h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

Também vamos precisar utilizar a regra do produto neste processo! Mas vamos com calma! Vem comigo!

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, temos que

d d x [ x + 1 x s e n ( x ) ] = d d x [ x + 1 ] ( x s e n ( x ) ) - ( x + 1 ) d d x [ x s e n ( x ) ] [ x s e n ( x ) ] 2

Vamos começar com a derivada mais simples, que é

d d x [ x + 1 ] = d d x [ x ] + d d x [ 1 ]

Lembrando que derivada de constantes é zero, e da regra do tombo, temos que

d d x [ x + 1 ] = ( 1 ) x 1 - 1 + 0 = 1

Agora vamos calcular a segunda derivada necessária! Ela usa a regra do produto! Lembra como faz? Saca só!

Passo 3

A derivada que falta é

d d x [ x s e n ( x ) ]

Ela é uma função da forma g ( x ) = h ( x ) i ( x ) , ou seja, um produto de funções, a regra do produto é tal que

d d x [ h ( x ) i ( x ) ] = d d x [ h ( x ) ] i ( x ) + h ( x ) d d x [ i ( x ) ]

Aplicando à nossa função obtemos

d d x [ x s e n ( x ) ] = d d x [ x ] s e n ( x ) + x d d x [ s e n ( x ) ]

Como fizemos no passo anterior, podemos usar a regra do tombo para dizer que

d d x [ x ] = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

e, também temos que a derivada do seno é conhecida como

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

Utilizando ambos os resultados podemos escrever que

d d x [ x s e n ( x ) ] = ( 1 ) s e n ( x ) + x c o s ( x ) = s e n ( x ) + x c o s ( x )

Vamos usar ambos os resultados que calculamos em nossa derivada original! Bora lá!

Passo 4

A derivada que queríamos calcular é

d d x [ x + 1 x s e n ( x ) ] = d d x [ x + 1 ] ( x s e n ( x ) ) - ( x + 1 ) d d x [ x s e n ( x ) ] [ x s e n ( x ) ] 2

Substituindo os resultados calculados temos que

d d x [ x + 1 x s e n ( x ) ] = ( 1 ) ( x s e n ( x ) ) - ( x + 1 ) ( s e n ( x ) + x c o s ( x ) ) [ x s e n ( x ) ] 2

Podemos simplificar um pouco a expressão acima se distribuirmos o segundo produto

d d x [ x + 1 x s e n ( x ) ] = x s e n ( x ) - x s e n ( x ) - x 2 c o s ( x ) - s e n ( x ) - x c o s ( x ) [ x s e n ( x ) ] 2 = - x 2 c o s ( x ) - s e n ( x ) - x c o s ( x ) [ x s e n ( x ) ] 2

Ou, evidenciando x c o s ( x ) , obtemos

d d x [ x + 1 x s e n ( x ) ] = - x c o s ( x ) [ x + 1 ] - s e n ( x ) [ x s e n ( x ) ] 2

Resposta

d d x [ x + 1 x s e n ( x ) ] = - x c o s ( x ) [ x + 1 ] - s e n ( x ) [ x s e n ( x ) ] 2

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