Derive as funções abaixo:

c)  h ( x ) = 1 - c o t g ⁡ ( x ) 1 + c o s s e c ⁡ ( x )

Passo 1

Para derivar a função h ( x ) = 1 - c o t ⁡ ( x ) 1 + c s c ⁡ ( x ) , vamos usar as regras de derivação básicas e as derivadas das funções trigonométricas.

A derivada da função cotangente é - c s c 2 ⁡ ( x ) e a derivada da função cossecante é - c s c ⁡ ( x ) c o t ⁡ ( x ) . Vamos usar essas derivadas para calcular a derivada da função h ( x ) .Primeiro, vamos simplificar h ( x ) um pouco:

h ( x ) = 1 - c o t ⁡ ( x ) 1 + c s c ⁡ ( x ) = c s c ⁡ ( x ) - c o t ⁡ ( x ) c s c ⁡ ( x ) = c s c ⁡ ( x ) c s c ⁡ ( x ) - c o t ⁡ ( x ) c s c ⁡ ( x ) = 1 - c o t ⁡ ( x ) c s c ⁡ ( x )

Passo 2

Agora, vamos calcular a derivada de h ( x ) usando as derivadas das funções trigonométricas:

h ' ( x ) = 0 - c o t ' ⁡ ( x ) c s c ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) c s c ' ⁡ ( x )

h ' ( x ) = - - c s c 2 ⁡ ( x ) c s c ⁡ ( x ) + c o t ⁡ ( x ) ( - c s c ⁡ ( x ) c o t ⁡ ( x ) )

h ' ( x ) = c s c 3 ⁡ ( x ) + c s c ⁡ ( x ) c o t 2 ⁡ ( x ) .

Resposta

Portanto, a derivada da função h ( x ) = 1 - c o t ⁡ ( x ) 1 + c s c ⁡ ( x ) em relação a x é:

h ' ( x ) = c s c 3 ⁡ ( x ) + c s c ⁡ ( x ) c o t 2 ⁡ ( x )

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