Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

USP, Cálculo 1, P2 - 2019, Questão ME02

Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira

  1. Se f : ] - 1,1 [ I R é uma função derivável, com derivada contínua, tal que f possui pontos críticos, então f possui extremos locais.
  2. Se f : ] - 1,1 [ I R é uma função qualquer tal que f 1   f - 1 < 0 , então existe c   ] - 1,1 [ tal que f c = 0
  3. Se f : ] - 1,1 [ I R é uma função derivável, com derivada contínua, c     ] - 1,1 [ é o único ponto crítico de f e c é o ponto de mínimo local de f então c é o ponto de mínimo global de f .
  4. Se f : ] - 1,1 [ I R é uma função contínua tal que f é derivável em ] - 1,1 [ e f 1 = f - 1 + 1 , então existe c   ] - 1,1 [ tal que f ' c = 1
  5. Se f : ] - 1,1 [ I R é uma função derivável tal que f 0 = 1 e f ' x > 0 para todo x   ] - 1,1 [ , então f x > 0 para todo x   ] - 1,1 [

Passo 1

Pra gente resolver essa questão vamos ter que testar cada afirmativa uma a uma, beleza? Vamos começar com a letra a . Será que ela é verdade?

Bem, a função tenta nos forçar a ideia de que todo ponto crítico é necessariamente um ponto de extremo (máximo ou mínimo). Dá uma olhada nessa função:

f x = x 3

f ' x = 3 x 2

Pô, essa função tem sim um ponto crítico no intervalo proposto, o x = 0 ! Mas veja bem:

f ' x > 0

Se a primeira derivada não muda de sinal nunca, quer dizer que f x é estritamente crescente (primeira derivada positiva). E nisso galera, já matamos a primeira alternativa: FALSA! Não dá pra ter extremos locais em funções estritamente crescentes, né não?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A letra b nos dá uma quase verdade. Pensa comigo, se eu multiplico um valor negativo por outro positivo, dá negativo certo? Então se f - 1 for positivo e f 1 for negativo, ou vice versa, necessariamente entre - 1 e 1 existe um x = c que zera a função. Caso contrário, os sinais de f - 1 e f 1 não teriam como ser diferentes.

Só um detalhezinho galera, que torna essa letra falsa. A letra b não fixa que f é contínua! Então pode existir uma função descontínua como por exemplo...

f x = 1 ,     s e   0 x 1 - 1 ,     s e - 1 x < 0

...em que f 1   f - 1 < 0 sem que exista uma raiz c tal que f c = 0 e c esteja entre - 1 e 1 . Veja que nesse exemplo nem sequer existe um valor de c que zere a função!

Passo 3

A letra c está dizendo que se a minha função tem um único ponto crítico e ele é de mínimo, então esse é seu mínimo global. Bem, seja esse ponto de mínimo o ponto c   ] - 1,1 [ , pela definição de ponto mínimo, vamos ter:

f ' x > 0 ,     s e     c < x < 1 f ' x < 0 ,     s e     - 1 < x < c

Lendo isso, o que estamos dizendo é que no intervalo em que a função está definida, antes do ponto crítico, a função decresce e depois, a função cresce. Oras, e o que é isso se não a definição de um ponto de mínimo?

Agora, se esse ponto crítico é único no intervalo ] - 1,1 [ , significa que não existe nenhum outro ponto que zere a primeira derivada! E logo, a primeira derivada não muda de sinal em nenhum intervalo além dos enunciados.

Pô galera, se isso aí acontece, a função vai ser estritamente crescente em c < x < 1 e estritamente decrescente em - 1 < x < c . Veja por exemplo a função:

f x = x 2

f ' x = 2 x

Nesse caso, temos um único ponto crítico c   ] - 1,1 [ que é o próprio c = 0 . E como a primeira derivada é uma reta que passa na origem, é válido:

f ' x > 0 ,     s e     0 < x < 1 f ' x < 0 ,     s e     - 1 < x < 0

Graficamente dá pra gente tirar uma ideia legal também:

Então temos a nossa resposta certa! Demorou, bora pra próxima!

Passo 4

A letra d está condicionando a existência de pontos críticos a um algebrismo. Bem, se f 1 = f - 1 + 1 , então necessariamente f 1 > f - 1 . Só que o caminho que leva de - 1 , f - 1 até 1 , f 1 pode ser, por exemplo, estritamente crescente! Como uma reta por exemplo! Não precisa ter um ponto de máximo ou de mínimo no meio do caminho pra o segundo ponto estar mais alto que o primeiro!

A reta que casa algebricamente com o imposto é:

f x = 1 2 x

Perceba que:

f ' x = 1 2

Logo a reta não possui pontos críticos, a restrição imposta está satisfeita e de quebra vimos que o caminho pode ser sim estritamente crescente. Tudo abobrinha o que a letra d disse!

Passo 5

Show, bora pra última letra. A e diz que se a função é estritamente crescente nesse intervalo, algo que ela diz ao afirmar que f ' x > 0 , então ela ta necessariamente acima do eixo x no intervalo, algo que ela diz ao afirmar que f x > 0 .

Oras, uma função pode ser crescente e estar abaixo do eixo x ! Então é falso! Veja o exemplo:

f x = 2 x + 1

Essa função é maior que 0 somente pra x > - 1 2 . Ou seja, no intervalo ] - 1 , - 1 2 [ , um intervalo pertencente ao intervalo ] - 1,1 [ , a função está abaixo do eixo x ! E sendo uma reta cuja derivada é sempre positiva:

f ' x = 2

Então temos ai uma função estritamente crescente. Ah, e além disso, essa função em específico satisfaz:

f 0 = 1

Restrição imposta pelo enunciado. Fechamos então!

Resposta

L e t r a   C

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