Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

UNICAMP, Cálculo 1, P1 - 2015.1 - 5ª Vespertino, Questão 2

Considere a função

f x = x 2 - 1 x 2 - 1

a Esboce o gráfico de f ( x ) .

( b ) Determine analiticamente o(s) ponto(s) em que f é descontínua.

( c ) Esta(s) descontinuidade(s) pode(m) ser removida(s)? Justifique.

( d ) A função f é diferenciável em x = 1 ? Justifique.

Passo 1

Para esboçarmos o gráfico é bom que a gente primeiro esmiúce esse módulo aí que aparece na função. Pela definição, olhando só para sua parte do numerador, ficaria assim:

x 2 - 1 = x 2 - 1 ,                           x < - 1 ; x > 1 - x 2 - 1 ,           - 1 x < 1

Quer dizer, quando o que está dentro do módulo é positivo, o termo vale exatamente o que está no módulo, quando é negativo vale o módulo vezes - 1 .

Juntando a isso o fato de que o pedaço está todo dividido por ( x 2 - 1 ) , a f ( x ) ficaria assim:

f x = x 2 - 1 x 2 - 1 = x 2 - 1 x 2 - 1 ,                             x < - 1   ;   x > 1 - x 2 - 1 x 2 - 1 ,                       - 1 x < 1

f x = 1 ,                             x < - 1   ;   x > 1 - 1 ,                       - 1 x < 1

Agora sim, muito mais simples de visualizar o gráfico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Desenhamos a f ( x ) que concluímos no último passo:

Passo 3

( b ) Concluímos na letra ( a ) que o valor de f ( x ) seria f x = 1 ,                             x < - 1   ;   x > 1 - 1 ,                       - 1 x < 1

Cujo gráfico seria

Concluímos por esse gráfico analiticamente, como pede a questão, que os pontos onde há saltos no gráfico e, portanto, descontinuidades são onde x = 1 e onde x = - 1 .

Passo 4

( c ) Temos a seguinte função:

f x = 1 ,                             x < - 1   ;   x > 1 - 1 ,                       - 1 x < 1

Se a função tem seus limites laterais iguais porém o valor da função no ponto inexiste ou é diferente desses limites, dizemos que essa é uma descontinuidade removível. Melhorando, uma descontinuidade em x = a é removível se:

lim x a + f ( x ) = lim x a - f ( x ) f ( a )

Para x = 1 e x = - 1 os limites laterais não são iguais, o que faz com que essas duas descontinuidades não sejam removíveis, como podemos calcular:

lim x 1 + f ( x ) = 1 ; lim x 1 - f ( x ) = - 1

lim x - 1 + f ( x ) = - 1 ; lim x - 1 - f ( x ) = 1

Conclusão, não podem ser removidas

Passo 5

( d ) Para ser diferenciável a função deve ser contínua; como f ( x ) não é contínua em x = 1 concluímos que ela também não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

a   f i g u r a   a c i m a

b   f x   é   d e s c o n t í n u a   e m   x = 1   e   x = - 1

c   A s   d e s c o n t i n u i d a d e s   n ã o   p o d e m   s e r   r e m o v i d a s .

d   f   n ã o   é   d i f e r e n c i á v e l   e m   x = 1

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