Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp.155-41

No exercício, cada figura mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D . Em que pontos do domínio a função parece ser

a derivável?

b contínua, mas não derivável?

c nem contínua nem derivável?

Justifique sua resposta.

Passo 1

a Para que a função seja derivável é preciso que ela seja contínua e que sua derivada exista.

Aparentemente, pelo desenho, o único ponto que não será derivável, por não ser contínuo, é x = 0 ! Então a função é derivável em

D - 0

onde D é seu domínio de - 3 até 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Para que seja contínua e não-derivável a função deve ser, no ponto, contínua sem que a derivada exista. Como fora da descontinuidade de x = 0 nós não temos nenhum ponto onde a derivada aparenta lateralmente divergir ou explodir para ± ∞ , temos que o único ponto não derivável é o x = 0 , onde a função é descontínua.

Sendo assim, não há pontos onde f é contínua mas não derivável.

Passo 3

c Como, comentado na letra b , o único ponto não derivável é x = 0 , por ser descontínuo. Essa é nossa resposta!

Resposta

a   x ∈ D - 0

b   N ã o   e x i s t e

c   x = 0

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