Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

P1, UNCAMP, 2013 noturno, 2bc Modificado

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x 1 2 x ,                     s e   x < 1

( I ) Calcule, se existir, lim x 1 f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( I I ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

Passo 1

( I ) Para resolver essa letra temos que lembrar que um limite qualquer num ponto só existe se os limites laterais nesse ponto existirem e forem iguais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá, façamos um pela esquerda e depois o outro pela direita desse que ele pediu:

lim x 1 - f x - f 1 x - 1 = lim x 1 - 2 x - ( 1 + 1 ) x - 1 = lim x 1 - 2 ( x - 1 ) x - 1 = 2

lim x 1 + f x - f 1 x - 1 = lim x 1 + ( x + 1 ) - ( 1 + 1 ) x - 1 = lim x 1 + ( x - 1 ) x - 1 = 1

Os limites deram diferentes. Podemos concluir que o limite pedido não existe em 1 .

Passo 3

( I I ) Pera aí, você reparou que limite é esse que ele pediu no item I ? É a definição de derivada!

lim x 1 f x - f 1 x - 1 = f ' ( 1 )

No caso, ele usou em 1 , por isso derivada em 1 . Daí surge a pergunta, a função é derivável em 1 ? Bom, se o limite que define a derivada nesse ponto não existe, como vimos na última letra que os limites laterais não batem, a função não é diferenciável em 1 .

Resposta

I L i m i t e   n ã o   e x i s t e .

I I N ã o   é   d i f e r e n c i á v e l .

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