Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

UNICAMP, Cálculo 1, P1 - 2013.1 - Noturno, Questão 2 b,c

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x 1 2 x ,                     s e   x < 1

( b ) Calcule, se existir, lim x 1 f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( c ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

Passo 1

( b ) Para resolver essa letra temos que lembrar que o limite no ponto só existe se os limites laterais existirem e forem iguais. Então vamos lá, façamos um pela esquerda e depois o outro pela direita:

lim x 1 - f x - f 1 x - 1 = lim x 1 - 2 x - 2 ( 1 ) x - 1 = lim x 1 - 2 ( x - 1 ) x - 1 = 2

lim x 1 + f x - f 1 x - 1 = lim x 1 + ( x + 1 ) - ( 1 + 1 ) x - 1 = lim x 1 + ( x - 1 ) x - 1 = 1

Os limites deram diferentes. Podemos concluir que o limite pedido não existe em 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( c ) Pera aí, você reparou que limite é esse que ele pediu na ( b ) ? É a definição de derivada!

lim x 1 f x - f 1 x - 1 = f ' ( 1 )

No caso, ele usou em 1 , por isso derivada em 1 . Daí surge a pergunta, a função é derivável em 1 ? Bom, se o limite que define a derivada nesse ponto não existe, como vimos na última letra, a função não é diferenciável em 1 .

Resposta

b L i m i t e   n ã o   e x i s t e .

c N ã o   é   d i f e r e n c i á v e l .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas