Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

USP, Cálculo 1, P1 - 2017, Questão 2

Sejam f e g funções reais a valores reais. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f é contínua em x 0   ϵ   d o m   f , então é derivável em x 0 .
  2. Suponha f inversível com inversa g , f derivável em x 0   ϵ   d o m   f , g contínua em f ( x 0   ) e f ' ( x 0   ) 0 . Então g é derivável em f ( x 0   ) .
  3. Se f e g forem ambas descontínuas em x 0   ϵ   d o m   f d o m   g , então f + g é descontínua em x 0   .

São verdadeiras:

  1. Apenas a afirmação I
  2. Apenas a afirmação II
  3. Apenas a afirmação II
  4. Todas as afirmações
  5. Apenas as afirmações II e III

Passo 1

Vamos analisar cada uma das afirmações. A primeira diz que f é contínua em um ponto x 0   e por isso é derivável nesse ponto.

Lembra do que foi estudado sobre Diferenciabilidade de funções? Existe um teorema que diz:

S e   u m a   f u n ç ã o   é   d i f e r e n c i á v e l   e m   u m   p o n t o ,   n e c e s s a r i a m e n t e   e l a   é   c o n t í n u a   n e s s e   p o n t o

No entanto, a recíproca não é a mesma, ou seja, uma função pode ser contínua em um ponto mas não ser diferenciável nesse mesmo ponto. Por exemplo, a função

f ( x ) = x

é contínua em x = 0 , pois

f 0 = lim x 0 f ( x )

Entretanto, ela não é diferenciável nesse ponto. Se tentarmos calcular a derivada pela definição olha o que vai acontecer:

lim x 0 f x - f ( 0 ) x - 0

lim x 0 x x

Como temos um modulo, vamos fazer os limites laterais:

lim x 0 - x x = - 1

lim x 0 + x x = 1

Viu só? Os limites laterais não são iguais, portanto não é possível achar a derivada de f no ponto x = 0 e isso é suficiente para concluirmos que a afirmação I é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A II fala sobre função inversa. Vamos então lembrar o que diz o Teorema da Função Inversa.

Seja   f   inversível com inversa     f - 1 .   Se   f   for derivável em   x 0   , com   f ' ( x 0   ) 0 , e se   f - 1   for contínua em   f ( x 0   ) ,   então será derivável em   f ( x 0   ) ,   c o m   ( f - 1 ) ' ( f x 0   ) = 1 f ' x 0      

Agora vamos lá, ver se cada condição desse teorema foi obedecida na afirmativa II:

  • f derivável em x 0   : OK
  • f ' ( x 0   ) 0 : OK
  • g   c o n t í n u a   e m   f x 0   : OK

Portanto, pelo Teorema da Função Inversa, pode-se dizer com toda certeza que g é derivável em f ( x 0   ) e a número II é verdadeira.

Passo 3

A terceira e ultima afirmativa diz que se duas funções são descontínuas em um ponto, a função resultante da soma dessas duas funções também será descontínua nesse ponto. Essa afirmação é falsa, como você pode ver nesse esse exemplo:

f x = 1 x ,   d e s c o n t í n u a   e m   x = 0

g x = x - 1 x ,   d e s c o n t í n u a   e m   x = 0

f x + g x = 1 x + x - 1 x = x x = 1

C o n t í n u a   e m   x = 0

Resposta

b. Apenas a afirmação II

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