Q 16 - Uma partícula de massa M está suspensa por uma corda de massa desprezível e comprimento L . A extremidade superior da corda pode girar mantendo um ângulo α com a vertical, como mostrado na figura. A partícula descreve um movimento circular. Determine o módulo do vetor velocidade v → da partícula (expresse o resultado em m / s ). Despreze qualquer atrito e/ou arraste.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão.

Fazendo um diagrama de corpo livre da partícula, temos:

Olhando para o diagrama vemos que só temos duas forças atuando na partícula. Mas a força de tensão T tem duas componentes, uma que aponta para o centro circunferência ( T R ) descrita pela partícula e uma apontando para cima ( T y ) .

Para essa partícula ter um movimento circular, ela precisa ter uma força resultante que aponte para o centro igual a força centrípeta, que é dada por:

F c = m v 2 R

Onde R é o raio da trajetória circular feita pelo corpo.

O que o enunciado quer saber é justamente essa velocidade v que aparece na expressão da força centrípeta.

Então vamos usar a segunda lei de Newton e analisar a partícula na direção y e na direção r (direção que aponta para o centro da trajetória circular)

Passo 2

Vamos lá, vamos começar com a direção y , usando a segunda lei, temos:

T cos ⁡ α - P = 0

⇒ T cos ⁡ α = P

Como P = M g , temos:

T cos ⁡ α = M g

⇒ T = M g cos ⁡ α

Passo 3

Agora vamos analisar a direção r , temos que:

T sin ⁡ α = M v 2 R

Como a corda que prende a partícula tem comprimento L , o raio R é igual a L sin ⁡ α , assim temos que:

T sin ⁡ α = M v 2 L sin ⁡ α

Substituindo a expressão para T que encontramos no passo 2 temos:

M g cos ⁡ α sin ⁡ α = M v 2 L sin ⁡ α

⇒ v 2 = L g sin ⁡ α 2 cos ⁡ α

⇒ v = sin ⁡ α L g sec ⁡ α

Essa seria a velocidade tangencial da partícula, a velocidade que aponta para a direção r é zero já que o raio da circunferência é constante.

Então o módulo do vetor velocidade já que ele só tem uma componente é dado por:

v = sin ⁡ α L g sec ⁡ α

Resposta

v = sin ⁡ α L g sec ⁡ α

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