Um automóvel descreve uma curva compensada que faz um ângulo α = 26 ,   565 ° com a horizontal. A massa do carro é m = 1000   k g e o raio da curva é dado por R = 5,00   m . Utilize o número apropriado de algarismos significativos.

Dados: g = 10   m / s 2

a) Determine a velocidade necessária para que o carro faça a curva com segurança sem precisar do auxílio do atrito.

b) Indique no desenho todas as forças que agem no carro quando sua velocidade v for igual a 2,50   m / s . Escreva as equações para o movimento do carro nesta situação usando o sistema de eixos indicado no desenho. O sistema de equações não precisa ser resolvido.

Passo 1

O que está acontecendo quando o carro faz uma curva num plano inclinado?

Bom, a força normal é sempre perpendicular à superfície:

Assim, vai existir uma componente da normal que aponta para o centro da curva:

Essa componente N → x atua como força centrípeta.

Passo 2

Mas vamos lá, na letra (a) queremos saber qual a velocidade do carro para que não haja nenhuma força de atrito.

Assim, as únicas forças atuando sobre o carro serão a força normal N → e a força peso P → :

Se essas são as únicas forças e o carro realiza um movimento circular, a força resultante atua como força centrípeta:

F R = F c t p

E essa força está na horizontal apontando para o centro da curva.

Se não há força resultante na vertical, temos um equilíbrio entre:

F R y = 0

N y - P = 0

Enquanto na horizontal, temos:

F R x = F c t p

N x = m v 2 R

Passo 3

Para descobrir as componentes da força normal, vamos utilizar o ângulo de inclinação α .

Vamos deslocar o ângulo α para o ponto de aplicação da força:

A horizontal e N → y fazem 90 ° , então aquele ângulo que falta é:

A direção da rampa e N → também fazem 90 ° entre si, então aquele ângulo que falta é o próprio α :

Então, as componentes da força normal são:

N x = N s e n θ

N y = N c o s θ

Passo 4

Voltando às equações de forças, temos que na vertical:

N y - P = 0

N c o s θ - m g = 0

N c o s θ = m g

Agora, vamos utilizar a equação da força resultante na horizontal:

N x = m v 2 R

N s e n θ = m v 2 R

Passo 5

Ficamos com um sistema assim:

N s e n θ = m v 2 R N c o s θ = m g

Dividindo a primeira equação pela segunda, temos:

N s e n θ N c o s θ = m v 2 R m g

Cortando N e m , ficamos com:

s e n θ c o s θ = v 2 g R

t g θ = v 2 g R

Queremos descobrir a velocidade v , então:

v 2 = g R t g θ

v = g R t g θ

Substituindo os valores:

v = 10 5 t g 26 ,   565 °

v = 50 0,5

v = 25 = 5   m / s

Passo 6

Na letra (b), agora o carro anda a 2,5   m / s . Queremos o diagrama de forças e as equações de forças.

Nós vimos que se a velocidade do carro é 5,0   m / s , não há força de atrito, pois ele apresenta um equilíbrio de forças na vertical.

Porém, se a velocidade for menor que esse valor, o carro tende a deslizar para baixo da curva.

Ué, mas por que?

Quando um carro de corrida entra muito rápido na curva, o que acontece?

Se o carro estiver muuuuito rápido ele tende a deslizar “para fora da curva” ou seja, para cima da rampa.

Se ele estiver muito lento, acontece o efeito contrário e ele tende a deslizar para baixo da rampa.

Passo 7

Como a força de atrito atua contra a tendência de deslizamento do carro, ela estará para cima da rampa:

Passo 8

Agora, precisamos escrever as equações de força resultante para essa situação.

Então, vamos voltar com as componente da normal N → e decompor também F → a t nas direções horizontal e vertical:

N x = N s e n θ N y = N c o s θ

F a t x = F a t c o s θ F a t y = F a t s e n θ

Passo 9

Como o movimento é circular, a força resultante atua como centrípeta e aponta para o centro da trajetória na horizontal.

Assim, temos um equilíbrio na vertical:

F R y = 0

N y + F a t y - P = 0

N c o s θ + F a t s e n θ - m g = 0

Enquanto na horizontal, temos:

F R x = F c t p

N x - F a t x = F c t p

N s e n θ - F a t c o s θ = m v 2 R

Resposta

(a)

v = 25 = 5   m / s

(b)

Eixo x :

N s e n θ - F a t c o s θ = m v 2 R

Eixo y :

N c o s θ + F a t s e n θ - m g = 0

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