1 . Um automóvel descreve uma curva com inclinação θ = 60 ° como indicado na figura. O coeficiente de atrito estático é μ e = 0,25 e o raio da trajetória circular é R = 190   m . Nestas condições o automóvel pode se manter na curva sempre que sua velocidade escalar esteja dentro de certos valores máximos e mínimos. Determine a velocidade mínima com a qual o carro pode fazer a curva sem deslizar.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão!

Como o automóvel descreve uma curva, ele querendo ou não está realizando um movimento circular, logo temos que ter uma força centrípeta que aponta para o centro da curva (no caso a direção r ).

Então a resultante das forças que atuam na direção r tem que ser igual a essa força centrípeta, dada por:

F c = m v 2 R

E é daí que tiramos a velocidade. Para encontrar a velocidade mínima para o carro não derrapar, teremos que analisar as forças que agem nesse carro, sendo que a força de atrito deve ser máxima para que encontremos a velocidade mínima.

Para vermos melhor o que acontece vamos desenhar um diagrama de corpo livre.

Tendo esse digrama, podemos usar a segunda lei de Newton na direção r e y , para analisar nossas forçar e ir atrás da velocidade do carro.

Passo 2

Começando com a direção y , já que a força resultante nessa direção deve ser zero, temos:

N cos ⁡ θ + f a sen ⁡ θ - P = 0

⇒ N cos ⁡ θ + N μ e sen ⁡ θ = P

Usando que P = m g , temos

N = m g cos ⁡ θ + μ e sen ⁡ θ

Guarda isso que a gente vai precisar.

Passo 3

Agora na direção r , temos que a força resultante é:

m v 2 R = N sen ⁡ θ - f a cos ⁡ θ

Usando o fato de que f a = N μ e , com isso temos:

m v 2 R = N sen ⁡ θ - N μ e cos ⁡ θ

⇒ m v 2 R = m g cos ⁡ θ + μ e sen ⁡ θ sen ⁡ θ - m g cos ⁡ θ + μ e sen ⁡ θ μ e cos ⁡ θ

⇒ v 2 R = g cos ⁡ θ + μ e sen ⁡ θ sen ⁡ θ - g cos ⁡ θ + μ e sen ⁡ θ μ e cos ⁡ θ

Passo 4

Agora vamos isolar v .

v 2 = R g cos ⁡ θ + μ e sen ⁡ θ sen ⁡ θ - R g cos ⁡ θ + μ e sen ⁡ θ μ e cos ⁡ θ

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

v 2 = ( 190 ) ( 10 ) cos ⁡ ( 60 ° ) + ( 0,25 ) sen ⁡ ( 60 ° ) sen ⁡ ( 60 ° ) - ( 190 ) ( 10 ) cos ⁡ ( 60 ° ) + ( 0,25 ) sen ⁡ ( 60 ° ) ( 0,25 ) cos ⁡ ( 60 ° )

⇒ v 2 = 190 13,96 sin ⁡ ( 60 ° ) - 190 13,96 0,25 cos ⁡ ( 60 ° )

⇒ v = 2297,04 - 331,55

Assim temos que:

v = 44,33   m / s

Essa é a nossa velocidade mínima.

Resposta

v = 44,33   m / s

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