Um garoto está inicialmente sentado no alto de um monte hemisférico de gelo de raio R . Ele começa a deslizar para baixo com uma velocidade inicial tão pequena que pode ser desprezada (ver figura). Suponha que o atrito seja desprezível. Em que altura o menino perde contato com o gelo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? A ideia aqui é entender que quando o menino perde contato com o gelo, sua força normal F N é zero!

Então a ideia para resolver é: escrever as energias envolvidas no topo do hemisfério (quando o menino está inicialmente em repouso) e quando ele perde o contato (energia cinética +potencial)

E depois perceber que esse menino escreve um movimento circular! Então a força resultante deve ser a força centrípeta!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Tomemos como referência para a energia potencial a base do monte. Dá uma espiadinha no desenho aqui embaixo:

No ponto 1 temos energia potencial gravitacional dada por

U 1 = m g R

E no ponto 2, temos energia cinética e potencial gravitacional

U 2 = m g R s e n θ + m v 2 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

A resultante das forças que atuam na direção do raio é a força centrípeta e dada por

F r = F c = m v 2 R

Aí no menino atuam a componente vertical do peso ( P s e n θ ) e a força normal:

P s e n θ - F N = m v 2 R

Em 2, perde-se o contato com o monte de gelo, logo

F N = 0

O que dá

m v 2 R = m g s e n θ

Colocando v 2 em evidência

v 2 = g R s e n θ

Certo?

Passo 4

Pela lei da conservação de energia entre o ponto 1 e 2

U 1 = K 2 + U 2

m g R = m g R s e n θ + m v 2 2

g R = g R s e n θ + m v 2 2

v 2 2 = g R 1 - s e n θ

Substituindo v 2

g R s e n θ = 2 g R 1 - s e n θ

s e n θ = 2 - 2 s e n θ

3 s e n θ = 2

s e n θ = 2 3

Beleza?

Passo 5

Logo, a altura h será

s e n θ = h R

2 3 = h R

Daí temos o valor de h :

h = 2 R 3

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

h = 2 R 3

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