Um menino está inicialmente em repouso sentado no alto de um monte hemisférico de gelo de raio R . Ele começa a deslizar com uma velocidade inicial tão pequena que pode ser desprezada. Suponha que o atrito com o gelo seja desprezível. Em que altura o menino perde contato com o gelo.

Passo 1

Vamos desenhar essa situação e as forças que estão agindo no menino depois de percorrido um ângulo θ .

Vamos aplicar a segunda lei de Newton no menino:

P → + N → = m a →

Na aceleração centrípeta vamos ter:

P cos ⁡ θ - N = m a c p

O corpo do menino perde o contato com o hemisfério quando a normal se anular, logo para θ = θ 0 :

N = 0

Logo, teremos que:

P cos ⁡ θ 0 - N = m a c p

m g cos ⁡ θ 0 = m a c p

a c p = g cos ⁡ θ 0

Aplicando a fórmula da aceleração centrípeta teremos:

g cos ⁡ θ 0 = v 0 2 R

Passo 2

Como este sistema é conservativo, a energia mecânica do menino no topo do hemisfério será igual àquela no ângulo θ = θ 0 :

m g R = m g h + 1 2 m v 0 2

Entretanto, sabemos que:

h = R cos ⁡ θ 0

Logo, substituindo isso teremos:

m g R = m g R cos ⁡ θ 0 + 1 2 m v 0 2

v 0 2 = 2 g R 1 - cos ⁡ θ 0

Passo 3

Agora podemos utilizar a equação que encontramos quando a normal é nula:

g cos ⁡ θ 0 = v 0 2 R

g cos ⁡ θ 0 = 2 g R 1 - cos ⁡ θ 0 R

cos ⁡ θ 0 = 2 3

Agora é só substituir na equação da altura:

h = R cos ⁡ θ 0

h = 2 R 3

Resposta

h = 2 R 3

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