Num parque de diversões, um carrinho desce de uma altura h , a partir do repouso, para dar a volta no loop de raio R indicado na figura 2.27 .

b) Se R < h < h 1 o carrinho cai no trilho em um ponto rotulado por B , quando ainda falta percorrer mais um ângulo θ para chegar até o topo A . Calcule θ .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor do ângulo θ , quando o carrinho tá no ponto B :

A gente tem que observar o seguinte, para o bloco perder o contato com a superfície, sua velocidade no bloco B não precisa ser zero, apenas a normal à superfície ( N = 0 ). Assim, vamos ter:

F c p = P

Pra descobrir quem é o peso no ponto B , a gente tem que encontrar a componente radial de P naquele ponto, usando o ângulo θ . Com isso a gente encontra a velocidade no ponto B e com a velocidade, a gente encontra a energia cinética naquele ponto. A partir daí, basta a gente igualar a energia mecânica no ponto à energia mecânica inicial, já que a energia se conserva, e encontrar uma expressão para o ângulo θ .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar considerando o caso limite para o qual a força normal é nula e escrever a força centrípeta na forma:

F c p = P

A força centrípeta é F c p = m v 2 R . Mas a força peso vai ser dada por sua componente radial em B , que é m g cos ⁡ θ . Assim, temos:

m v 2 R = m g cos ⁡ θ

Isolando v :

v = R g cos ⁡ θ

Essa é a velocidade do carrinho no ponto B .

Passo 3

Nós vamos calcular a energia mecânica no ponto B e igualar a energia mecânica inicial, já que a energia do movimento se conserva. Mas antes a gente precisa encontrar a altura do ponto B .

De acordo com o esquema:

Nós temos:

h ' = R + R cos ⁡ θ

h ' = R ( 1 + cos ⁡ θ )

Passo 4

Bom, agora usando a conservação de energia mecânica, temos:

E m i = E m f

A energia mecânica no ponto inicial da trajetória é apenas a energia potencial, m g h , porque o carrinho ainda não tava se movendo. No ponto B , nós temos energia potencial e energia cinética, a parcela de energia mecânica vai ser dada por m g h ' e a da energia cinética vai ser dada por m v B 2 2 . Então, vamos ter:

m g h = m g h ' + m v B 2 2

A gente viu no passo 2 que v B = R g cos ⁡ θ e viu no passo 3 , que h ' = R ( 1 + cos ⁡ θ ) . Então, temos:

m g h = m g R 1 + cos ⁡ θ + 1 2 m R g cos ⁡ θ

m g h = 3 2 m g R cos ⁡ θ + m g R

Simplificando m g dos dois lados:

h = 3 2 R cos ⁡ θ + R

h = R 3 2 cos ⁡ θ + 1

Isolando o cos ⁡ θ :

h R = 3 2 cos ⁡ θ + 1

cos ⁡ θ = 2 3 h R - 1

Então, nosso ângulo é:

θ = arccos ⁡ 2 3 h R - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

θ = arccos ⁡ 2 3 h R - 1

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