Parte I:

Um corpo de massa m suspenso por um fio de comprimento L , que faz um ângulo θ com a vertical, gira descrevendo uma circunferência de raio r . Esse dispositivo é designado pela expressão pêndulo cônico.

(a) Obtenha uma expressão literal para o período T P desse pêndulo em função de g , r e L . A expressão pode conter θ , desde que seja indicada outra fórmula para calculá-lo em termos das grandezas pedidas.

(b) Considere r = 11,18   c m , L = 2,17   m e g = 9,80   m / s 2 . Calcule o período T P desse pêndulo.

Passo 1

Um pêndulo cônico nada mais é do que um pêndulo simples só que em vez de transladar de um lado para o outro, faz um movimento circular uniforme sempre à uma mesma altura.

Se a velocidade da partícula é constante na trajetória do círculo, ela vai ter um mesmo intervalo de tempo para completar cada volta, ou seja um período ( T ) .

A questão gira em torno desse período, que vai ter o nome de ( T P ) .

Passo 2

(a) Obtenha uma expressão literal para o período T P desse pêndulo em função de g , r e L . A expressão pode conter θ , desde que seja indicada outra fórmula para calculá-lo em termos das grandezas pedidas.

Para encontrar uma expressão para o período ( T P ) , vamos relacionar as forças com a velocidade da partícula através da expressão de força centrípeta.

Primeiro, vamos decompor a força de tração ( T → ) na direção vertical e horizontal:

Fazemos isso, porque além de conseguir fazer o somatório de forças na vertical, temos uma componente da força apontando para o centro da trajetória circular, ou seja, fazendo o papel da força centrípeta F c t p .

A expressão da força centrípeta é dada por:

F c t p = m v 2 R

Onde R é o raio do círculo.

Então, vamos igualar a componente T s e n θ com a força centrípeta, sendo o raio do círculo r :

1   T s e n θ = m v 2 r

Além disso, o somatório de forças na vertical nos dá:

2   T c o s θ = m g

Agora, vamos juntar as equações ( 1 ) e ( 2 ) , dividindo ( 1 ) por ( 2 ) :

t g θ = v 2 r g

Se não pensou em juntar dividindo, relaxa! Você também poderia ter juntado as duas substituindo, por exemplo a tração ( T ) , e chegaria no mesmo resultado.

Passo 3

Achamos uma relação para a velocidade da partícula. Mas, lembra que ela faz um (MCU)?

Então, podemos dizer que sua velocidade (sempre constante) é dada por:

v m = ∆ S ∆ t

Em um intervalo de um período T P , a partícula percorre uma volta no círculo, então:

v = 2 π r T P

Passo 4

Vamos relacionar a expressão do Passo 2 com a velocidade da partícula:

t g θ = v 2 r g

t g θ = 2 π r T P 2 r g

t g θ = 2 π r 2 r g T P 2

Isolando o período T P :

T P = 2 π r r g   t g θ

Por último, devemos achar quem é θ para que a nossa resposta fique apenas em função de g , r e L .

Podemos dizer que:

s e n   θ = r L

Então, o nosso ângulo θ vai ser:

θ = a r c s e n r L

Então, achamos finalmente o período:

T P = 2 π r r g   t g a r c s e n r L

É meio feiosa essa expressão mesmo. Mas, se preferir o enunciado afirma que podemos deixar em função de θ e mostrar como calculá-lo. Então, poderíamos ter parado nessa resposta também:

T P = 2 π r r g   t g θ ↔   s e n   θ = r L

Passo 5

(b) Considere r = 11,18   c m , L = 2,17   m e g = 9,80   m / s 2 . Calcule o período T P desse pêndulo.

Como já temos a expressão para calcular T P , basta substituir os valores dados:

T P = 2 π r r g   t g a r c s e n r L

T P = 2 π 11,8 × 10 - 2 11,8 × 10 - 2 9,8 t g a r c s e n 11,8 × 10 - 2 2,17  

T P = 2,95   s

Resposta

(a) T P = 2 π r r g   t g a r c s e n r L ou T P = 2 π r r g   t g θ ↔   s e n   θ = r L

(b) T P = 2,95   s

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