Um planeta de massa M   =   6 m possui dois satélites de massas iguais a m percorrendo a mesma órbita circular de raio r . Sabe-se que os satélites estão sempre em posições diametralmente opostas. Nos itens abaixo dê suas respostas em termos de m ,   r e da constante universal da gravitação G .

( a ) Determine o módulo da força gravitacional que atua em cada satélite.

( b ) Calcule o período de revolução do sistema.

Passo 1

a   O satélite sofrerá ação da força causada pelo planeta e pelo outro planeta. Assim, vamos calcular cada uma dessas forças e depois soma-las, sabendo que a como eles são iguais, a força que atuar em um terá módulo igual a que atua no outro, bastando assim calcular a força para um satélite.

Primeiro vamos calcular a força causada pelo planeta.

F p = G m 6 m r 2 = 6 G m 2 r 2

Agora a força causada pelo outro satélite. Sendo que os satélites estão afastados de 2 r .

F s = G m m 2 r 2 = G m 2 4 r 2

Somando as duas forças a força resultante sobre um satélite é de:

F r = F p + F s

F r = 6 G m 2 r 2 + G m 2 4 r 2

F r = G m 2 r 2 6 + 1 4

F r = G m 2 r 2 25 4

Passo 2

b   Agora temos que lembrar de movimento circular. Em vários ramos da física usamos o conceito de período e frequência e sabemos que um é o inverso do outro.

T = 1 f

No movimento angular, temos uma variável bem famosa que é a velocidade angular e ela é dada pela frequência, pela fórmula:

ω = 2 π . f

Ela também pode ser escrita como:

ω = v r

Outra coisa importantíssima no movimento circular é a que para que haja o movimento é necessário a força centrípeta. Que vale:

F c = m v 2 r

Podemos escreve-la em função da velocidade angular, assim:

F c = m r ω 2

Passo 3

Bem feita a revisão de movimento circular, podemos começar a fazer a questão, como o enunciado quer o período T e a única coisa que temos é que o satélite executa um movimento circular, então vamos partir dae.

Para que haja o movimento circular devemos ter força centrípeta. Como a única força atuante nesse sistema é a força gravitacional ela será a força centrípeta. Assim:

F c = G m 2 r 2 25 4

Mas na revisão vimos que ela também vale

F c = m r ω 2

Então

F c = m r ω 2 = G m 2 r 2 25 4

Assim, podemos isolar a velocidade angular

ω = 25 G m 4 r 3 = 5 2 r G m r

Sabendo o valor da velocidade angular, conseguimos descobrir a frequência:

f = ω 2 π = 5 4 π r G m r

E agora para terminar, vamos inverter o valor que temos para descobrirmos o período:

T = 1 f = 4 π r 5 r G m

Resposta

a   F r = G m 2 r 2 25 4

( b )   T = 4 π r 5 r G m

Exercícios de Livros Relacionados

Qual é o menor raio de uma curva sem compensação (plana) que permite q
Um estudante que pesa 667   N está sentado, com as costas eretas,
Em um brinquedo de parque de diversão, um carro se move em uma circunf
Um bonde antigo dobra urna esquina fazendo uma curva plana com 9,1 &nb