Um planeta de massa M   =   6 m possui dois satélites de massas iguais a m percorrendo a mesma órbita circular de raio r . Sabe-se que os satélites estão sempre em posições diametralmente opostas. Nos itens abaixo dê suas respostas em termos de m ,   r e da constante universal da gravitação G .

( a ) Determine o módulo da força gravitacional que atua em cada satélite.

( b ) Calcule o período de revolução do sistema.

Passo 1

a   O satélite sofrerá ação da força causada pelo planeta e pelo outro planeta. Assim, vamos calcular cada uma dessas forças e depois soma-las, sabendo que a como eles são iguais, a força que atuar em um terá módulo igual a que atua no outro, bastando assim calcular a força para um satélite.

Primeiro vamos calcular a força causada pelo planeta.

F p = G m 6 m r 2 = 6 G m 2 r 2

Agora a força causada pelo outro satélite. Sendo que os satélites estão afastados de 2 r .

F s = G m m 2 r 2 = G m 2 4 r 2

Somando as duas forças a força resultante sobre um satélite é de:

F r = F p + F s

F r = 6 G m 2 r 2 + G m 2 4 r 2

F r = G m 2 r 2 6 + 1 4

F r = G m 2 r 2 25 4

Passo 2

b   Agora temos que lembrar de movimento circular. Em vários ramos da física usamos o conceito de período e frequência e sabemos que um é o inverso do outro.

T = 1 f

No movimento angular, temos uma variável bem famosa que é a velocidade angular e ela é dada pela frequência, pela fórmula:

ω = 2 π . f

Ela também pode ser escrita como:

ω = v r

Outra coisa importantíssima no movimento circular é a que para que haja o movimento é necessário a força centrípeta. Que vale:

F c = m v 2 r

Podemos escreve-la em função da velocidade angular, assim:

F c = m r ω 2

Passo 3

Bem feita a revisão de movimento circular, podemos começar a fazer a questão, como o enunciado quer o período T e a única coisa que temos é que o satélite executa um movimento circular, então vamos partir dae.

Para que haja o movimento circular devemos ter força centrípeta. Como a única força atuante nesse sistema é a força gravitacional ela será a força centrípeta. Assim:

F c = G m 2 r 2 25 4

Mas na revisão vimos que ela também vale

F c = m r ω 2

Então

F c = m r ω 2 = G m 2 r 2 25 4

Assim, podemos isolar a velocidade angular

ω = 25 G m 4 r 3 = 5 2 r G m r

Sabendo o valor da velocidade angular, conseguimos descobrir a frequência:

f = ω 2 π = 5 4 π r G m r

E agora para terminar, vamos inverter o valor que temos para descobrirmos o período:

T = 1 f = 4 π r 5 r G m

Resposta

a   F r = G m 2 r 2 25 4

( b )   T = 4 π r 5 r G m

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