Quatro partículas idênticas descrevem movimentos circulares concêntricos, em um plano horizontal, e estão conectadas entre si através de fios ideais do mesmo tipo, conforme a figura. Aumenta-se a frequência angular da rotação gradativamente. Nestas condições, o fio que se arrebenta primeiro é o de número

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 1, 2, 3 e o 4 simultaneamente

Passo 1

Essa é aquela questão que a gente não sabe nem por onde começar direito. Antes de sair chutando, vamos pensar no seguinte: o fio que vai arrebentar primeiro é o que tiver a maior tensão, certo?

E aplicando a 2ª lei de Newton e umas fórmulazinhas da rotação deve dar pra gente achar as tensões em cada fio!

Então esse vai ser o raciocínio! ;)

Passo 2

Antes de começar, vou fazer umas considerações:

  • As partículas são idênticas, então vamos dizer que elas têm todas massa m .
  • As partículas estão conectadas, rodando juntas, então elas têm a mesma velocidade angular ω .
  • O raio do movimento é diferente pras partículas 1, 2, 3 e 4, então vou chamá-los, respectivamente, de R 1 , R 2 , R 3 e R 4 .
  • Da mesma forma, podemos chamar as tensões dos fios de T → 1 ,   T → 2 ,   T → 3 e T → 4 . Isso vai ficar mais claro mais pra frente :)

Dito isso, vamos continuar!

Passo 3

Vamos começar isolando a partícula 4, já que só tem um fio ligado nela!

No plano horizontal (da figura), a única força atuando na partícula é a tensão do fio T → 4 :

Passo 4

Então a força resultante F → c p na direção centrípeta é T → 4 . E pela 2ª lei de Newton,

F → c p = m a → c p ,

a → c p sendo a aceleração centrípeta da partícula. Ou seja,

T → 4 = m a → c p

Em módulo, isso fica:

T 4 = m a c p

Passo 5

O módulo da aceleração centrípeta é dado por:

a c p = v 2 R

Usando a relação v = ω R , e lembrando que pra partícula 4 o raio é R 4 , isso fica:

a c p = ω 2 R 4 2 R 4 = ω 2 R 4

Logo,

T 4 = m ω 2 R 4

Passo 6

Show, vamos pra partícula 3 ! Agora tem 2 fios, realizando 2 forças de tensão. A que aponta pro centro, no fio 3, é a T → 3 .

Vamos ver o fio 4. Como ele é ideal, a tensão nele é sempre igual, então a tensão que aponta pra fora nada mais é que - T → 4 ! Saca só:

Passo 7

Vamos proceder exatamente da mesma maneira que pra partícula 4! Pela 2ª lei de Newton,

T → 3 - T → 4 = m a → c p

⇒ T 3 - T 4 = m a c p

⇒ T 3 - m ω 2 R 4 = m a c p

⇒ T 3 = m a c p + ω 2 R 4

Passo 8

Agora, o raio do movimento é R 3 , então o módulo da aceleração centrípeta é:

a c p = v 2 R 3 = ω 2 R 3 2 R 3 = ω 2 R 3

⇒ T 3 = m ω 2 R 3 + ω 2 R 4

⇒ T 3 = m ω 2 R 3 + R 4

Passo 9

Ótimo, vamos pra partícula 2! Vai ser bem parecido com a partícula 3!

As forças atuando nela no plano são as tensões dos fios T → 2 , no fio 2, apontando pro centro do movimento, e - T → 3 , no fio 3, apontando pra fora:

Passo 10

Novamente, pela 2ª lei de Newton:

T → 2 - T → 2 = m a → c p

⇒ T 2 - T 3 = m a c p

⇒ T 2 - m ω 2 R 3 + R 4 = m a c p

⇒ T 2 = m a c p + ω 2 R 3 + R 4

Passo 11

Pra partícula 2, o módulo da aceleração centrípeta é:

a c p = v 2 R 2 2 = ω 2 R 2 2 R 2 2 = ω 2 R 2

Então o módulo da tensão T 2 é:

T 2 =   m ω 2 R 2 + ω 2 R 3 + R 4

⇒ T 2 = m ω 2 R 2 + R 3 + R 4

Já tá dando pra ver um padrão né? Tipo T n = m ω 2 R n + R n + 1 + … + R f .

Enfim, só falta a partícula 1 mesmo, então vamos calcular a tensão do fio 1 que nem a gente fez pros outros!

Passo 12

Da mesma maneira que pras outras partículas, temos uma tensão T → 1 apontando pro meio da trajetória, e outra tensão - T → 2 apontando pra fora:

Passo 13

Aplicando a 2ª lei de Newton pela última vez:

T → 1 - T → 2 = m a → c p

⇒ T 1 - T 2 = m a c p

⇒ T 1 - m ω 2 R 2 + R 3 + R 4 = m a c p

⇒ T 1 = m a c p + ω 2 R 2 + R 3 + R 4

Passo 14

Dessa vez o raio do movimento é R 1 , então:

a c p = v 2 R 1 = ω 2 R 1 2 R 1 = ω 2 R 1

⇒ T 1 = m ω 2 R 1 + ω 2 R 2 + R 3 + R 4

⇒ T 1 = m ω 2 R 1 + R 2 + R 3 + R 4

O resultado foi que nem a gente suspeitou antes!

Passo 15

Recapitulando, obtivemos:

T 1 = m ω 2 R 1 + R 2 + R 3 + R 4 T 2 = m ω 2 R 2 + R 3 + R 4 T 3 = m ω 2 R 3 + R 4 T 4 = m ω 2 R 4

Portanto,

T 1 > T 2 > T 3 > T 4

A tensão no fio 1 é maior, então ele arrebenta primeiro.

Resposta

Alternativa (a)

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