Passo 1

Integração por partes, então precisamos determinar quem vai ser u   e   d v , certo? Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

Como a função algébrica vem primeiro que a trigonométrica,

u = x

d v = sen ⁡ x   d x

Passo 2

Escolhidos u   e   v , precisamos encontrar d u   e   v

u = x

Derivando

d u = d x

E

d v = sen ⁡ x d x

v = - cos ⁡ x

Vamos omitir as constantes aqui,beleza? Lá no final a gente coloca a constante geral.

Passo 3

Achamos u , d u , v   e   d v , agora vamos aplicar na regrinha da integração por partes que é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ u   d v =   x   .   - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x d x

Passo 4

Agora é só resolver

∫ u   d v =   x   .   - cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x d x

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x

Então

∫ x sen ⁡ x   d x =   - x cos ⁡ x + sen ⁡ x + C

Não esquece da constante!

Resposta

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Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para