Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Passo 1

Para usar aqui a técnica de integração por partes, precisamos primeiro fazer uma substituição para simplificar, olha só

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

Então

∫ ln ⁡ ln ⁡ x x d x = ∫ ln ⁡ u   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Feita nossa substituição, agora podemos começar a aplicar a integração por partes. Cuidado! Não vamos confundir o u da integração por partes com a nossa substituição. Para não dar confusão vamos chamar o da integração por partes de u 2 ok?

u 2 = ln ⁡ u

d v = d u

Então

d u 2 = 1 u d u

v = u

Passo 3

Agora falta aplicar na expressão da integração por partes

∫ u 2   d v = u 2 v - ∫ v   d u 2

∫ ln ⁡ u = ln ⁡ u .   u   - ∫ u 1 u d u

∫ ln ⁡ u = u  ln ⁡ u   - ∫ d u

∫ ln ⁡ u = u ln ⁡ u   - u

Passo 4

Finalmente, só falta desfazer a substituição do passo 1.

u = ln ⁡ x

∫ ln ⁡ ln ⁡ x x d x = ∫ ln ⁡ u   d u

∫ ln ⁡ ln ⁡ x x d x = ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x - ln ⁡ x + C

Não esquece de colocar a constante de integração, viu?

Resposta

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