Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Passo 1

Integração por partes né? Do que a gente precisa? Determinar quem vai ser u   e   d v , certo? Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

No nosso caso temos uma inversa trigonométrica, então

u = arc tan ⁡ x

d v = 1 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Escolhidos u   e   v , precisamos encontrar d u   e   v

u = arc tan ⁡ x

Derivando

d u = 1 2 x ( x + 1 ) d x

Essa é uma daquelas derivadas mais chatinhas de fazer, se ficar com dúvida volta lá nos tópicos de derivação que tá mais detalhado. Vamos continuar

d v = 1 x d x

v = 2 x

Vamos omitir as constantes aqui,beleza? Lá no final a gente coloca a constante geral.

Passo 3

Pronto! Com u , d u , v   e   d v determinados, agora vamos aplicar na regrinha da integração por partes que é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ u   d v = arc tan ⁡ x .   2 x - ∫ 2 x 1 2 x ( x + 1 ) d x

∫ arctan ⁡ x x d x = 2 x arctan ⁡ x - ∫ 1 x + 1 d x

Resolvendo a integral

∫ arctan ⁡ x x d x = 2 x arctan ⁡ x - ln ⁡ x + 1 + C

Prontinho! Não esquece da constante viu?

Resposta

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