Passo 1

Pelo LIATE escolhemos o nosso u sendo a Inversa trigonométrica e o d v é a algébrica, ou polinomial:

u = arctg ⁡ 4 x → d u = 4   d x 1 + 4 x 2 = 4   d x 1 + 16 x 2

d v = d x → v = x

Agora é só usar a fórmula da integral por partes:

∫ arctg ⁡ 4 x d x = x arctg ⁡ 4 x - ∫ 4 x   d x 1 + 16 x 2

Passo 2

A integral que sobrou pode ser resolvida por substituição:

y = 1 + 16 x 2

d y = 3 2 x   d x → x   d x = d y 3 2

Fica assim,

∫ 4 x   d x 1 + 16 x 2 = ∫ d y 8 y = ln ⁡ y 8

= ln ⁡ 1 + 16 x 2 8

Passo 3

Então a integral toda fica assim:

∫ arctg ⁡ 4 x d x = x arctg ⁡ 4 x - ln ⁡ 1 + 16 x 2 8 + C

Resposta

∫ arctg ⁡ 4 x d x = x arctg ⁡ 4 x - ln ⁡ 1 + 16 x 2 8 + C

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Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para