Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Origem do Exercício

Aplicando-se os conceitos da Integração por partes calcule:

∫ x 2 e x 3 d x

Passo 1

O enunciado pede para usarmos “os conceitos” da Integração por partes. Nesse caso em particular, não é útil usar aquela fórmula famosa:

∫   u   d v = u v - ∫ v   d u

É mais interessante fazer uma substituição simples, que não deixa de aplicar alguns dos mesmos conceitos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O nosso problema maior com certeza é aquele x 3 no expoente, então vamos chamar o seguinte:

u = x 3

d u d x = 3 x 2

d x = d u 3 x 2

Agora vamos substituir isso na integral:

∫ x 2 e x 3 d x = ∫ x 2   e u d u 3 x 2 = 1 3 ∫ e u   d u

Pronto, ficamos só com a integral da função exponencial e u , que é simplesmente e u ! Então:

1 3 ∫ e u   d u = 1 3 e u + C

(Não esqueça dessa constante!) Agora é só substituir o u de volta:

1 3 e u + C = 1 3 e x 3 + C

Resposta

A integral é igual a 1 3 e x 3 + C .

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