Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo

b )   ∫ arctan ⁡ x d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa integral aqui

∫ arctan ⁡ x d x

E pediu para resolvermos! Ué, mas por onde começar? Olhando sempre na tabela! Se você logo de cara não identificar uma fórmula que se adeque, então precisamos usar alguma técnica!

Beleza? Como não encontramos nenhuma fórmula da tabela, vamos aos métodos! Começando pelo método da substituição: nele a gente tenta encontrar uma parte do integrando para chamar de u e que o restante do integrando tenha a sua derivada d u

Mas não temos nada isso não é? E agora?

O próximo método que você vai tentar é o: método de integração por partes

Nesse método você vai escolher no integrando uma parte para ser u e outra para ser d v . O método nos diz que a integral de ∫ u d v é

A ideia é transformar a integral cabeluda do lado esquerdo, em uma mais simples do lado direito.

E é esse método que vamos aplicar aqui! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Agora nossa missão é integrar essa coisa!

∫ arctan ⁡ x   d x

Como vimos nessa lista, integrais que tem como integrando o produto de uma função trigonométrica inversa a gente resolve pelo método: integração por partes

u e quem é d v ? E aqui vai um truque super útil: seguir a tabelinha do LIATE

No nosso caso u = arctan ⁡ x e d v =   d x , assim

E aplicando por partes na nossa integral temos:

∫ arctan ⁡ x   d x = x arctan ⁡ x - ∫ x 1 + x 2 d x

Beleza?

Passo 3

Chegamos a esse resultado aqui

∫ arctan ⁡ x   d x = x arctan ⁡ x - ∫ x 1 + x 2 d x

Agora nossa integral recaiu em outra integral! E nela vamos usar substituição simples! Isso porque se chamarmos u = 1 + x 2 , então d u = 2 x   d x e que é mais ou menos (a menos de uma constante) o que temos no integrando!

Vamos aplicar a técnica de substituição simples:

∫ arctan ⁡ x   d x = x arctan ⁡ x - ∫ x 1 + x 2 d x

∫ arctan ⁡ x   d x = x arctan ⁡ x - 1 2 ∫ d u u = x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

Será que falta alguma coisa?

SIM: somar a constante de integração no final!

Assim temos que:

∫ arctan ⁡ x   d x = x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x