6) Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.

d) ∫ x ln ⁡ x d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Como o próprio enunciado nos fala, precisamos identificar qual a técnica mais indicada para resolvermos a integral.

Com certeza isso não é uma missão simples, não é mesmo? Só com muita prática e muito estudo, conseguimos definir só de olhar qual a integral correta.

Maaaaaas...

Sempre podemos usar algumas dicas e passos para tentarmos encontrar com mais facilidade. Vamos tentar utilizar os tipos de integral nessa sequência: Substituição Direta, Substituição de Variável, Integral por Partes, Substituição Trigonométrica e por fim Frações Parciais.

Sacou? O que acha? Parece mais fácil, né?

Para essa função:

Podemos realizar uma substituição direta? Não, já que temos o x aparecendo duas vezes de forma diferente, portanto não encontramos esse formato nas tabelas por aí.

Podemos aplicar substituição de variável? Também não, por mais que tentemos chamar x de u ou ln ⁡ x de u , acabamos não encontrando um d u que sirva para essa integral.

Podemos aplicar integral por partes? Acho que vale a tentativa, não é mesmo?

Passo 2

Muito bom!

Como já sabemos, a integral por partes possui uma receitinha:

∫ u   d v = u * v - ∫ v d u

Vamos chamar u = ln ⁡ x e d v = x   d x .

Então:

d u = 1 x d x

v = x 2 2

Agora podemos aplicar a nossa receita:

ln ⁡ x * x 2 2 - ∫ x 2 2 1 x d x

Passo 3

Nesse passo vamos calcular a nova integral:

Como 1 2 é constante em relação a x , sairá da integral:

1 2 ∫ x 2 x d x

Simplificando a fração:

1 2 ∫ x   d x

Essa é uma substituição direta, certo?

Então:

1 2 x 2 2 = x 2 4

Juntando tudo na receita:

= x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4

Simplicando:

= x 2 2 ln ⁡ x - 1 2

Ah, não podemos esquecer da Constante de Integração!

= x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 + C

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Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x