M o s t r e 2 que ∫ 0 π 2 arccos ⁡ cos ⁡ x 1 + 2 cos ⁡ x d x = 5 π 2 24

Passo 1

Oiee bora resolver essa comigo

Para mostrar que

∫ 0 π 2 arccos ⁡ cos ⁡ x 1 + 2 cos ⁡ x d x = 5 π 2 24

vamos usar a integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por:

∫   u   d v   =   u v   -   ∫   v   d u ,

onde u e dv são partes diferenciáveis da função a ser integrada.

Definimos:

u   =   a r c c o s c o s x 1   +   2 c o s x       ⟹       d u   =   - s i n x 1   +   2 c o s x   d x ,

d v   =   d x       ⟹       v   =   x .

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:

∫ 0 π 2 arccos ⁡ c o s x 1   +   2 c o s x d x =   x   *   a r c c o s c o s x 1   +   2 c o s x 0 π 2 - ∫ 0 π 2 x   *   - s i n x 1   +   2 c o s x   d x

Passo 2

Primeiro, avaliamos a parte esquerda da equação nos limites de integração:

x * arccos ⁡ c o s x 1   +   2 c o s x d x 0 π 2   = π 2 * a r c c o s cos ⁡ π 2 1   + 2 cos ⁡ π 2 - 0 * a r c c o s cos ⁡ ( 0 ) 1   + 2 cos ⁡ 0

=   π 2   *   a r c c o s ( 0 )   -   0   *   a r c c o s 1 3

=   π 2 *   π 2 -   0

= π 2 4

Agora, tratamos a parte direita da equação:

∫ 0 π 2 x   *   - s i n x 1   +   2 c o s x d x =   ∫ 0 π 2 x s i n x 1   +   2 c o s x d x

Passo 3

Neste ponto, podemos usar integração por partes novamente para avaliar essa integral:

u   =   x       ⟹       d u   =   d x ,

d v   = s i n x 1   +   2 c o s x   d x         ⟹       v   =   - ∫ s i n x 1   +   2 c o s x   d x

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes novamente:

∫ x s i n x 1   +   2 c o s x   d x = - x ∫ s i n x 1   +   2 c o s x   d x   +   ∫ ∫ ( s i n ⁡ ( x ) ) / ( 1   +   2 c o s ⁡ ( x ) )   d x )     d x

A primeira integral à direita é o produto de u e v:

- x ∫ s i n x 1   +   2 c o s x     d x   =   - x   *   - ∫ s i n x 1   +   2 c o s x   d x )   =   ∫ x s i n x 1   +   2 c o s x   d x

Portanto, a equação se torna:

∫ x s i n x 1 �� +   2 c o s x d x   + ∫ ∫ sin ⁡ x 1   + 2 cos ⁡ x d x   d x   = ∫ x s i n x 1   +   2 c o s x   d x   + ∫ ∫ sin ⁡ x 1   + 2 cos ⁡ x d x d x .

Passo 4

Agora, somamos essa integral a ambos os lados da equação original:

2 ∫ x s i n x 1   +   2 c o s x   d x   = π 2 4

Dividimos ambos os lados por 2:

∫ x s i n x 1   +   2 c o s x   d x   = π 2 8

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica s e n ( 2 x )   =   2 s i n ( x ) c o s ( x ) para simplificar ainda mais a integral:

∫ x s i n x 1   +   2 c o s x   d x   =   ∫ x s i n x 1   +   2 c o s x   d x   =   1 2   ∫ 2 x s i n x 1   +   2 c o s x   d x ,

=   1 2   ∫ x s i n 2 x 1   +   2 c o s x   d x .

Passo 5

Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica u =   2 c o s ( x ) , o que implica d u = - 2 sin ⁡ x d x :

=   - 1 4 ∫ x d u 1   +   u   =   - 1 4 ∫ x d x 1   +   u

Agora, podemos resolver a integral:

∫ x d x 1   +   u   =   ∫ x d x 1   +   2 c o s x   d x   =   - 1 4   ∫ x d x 1   +   u   =   - 1 4 l n | 1   +   u |   +   C ,

=   - 1 4 l n | 1   +   2 c o s ( x ) |   +   C .

Agora, voltamos para a equação original:

∫ 0 π 2 arccos ⁡ cos ⁡ x 1 + 2 cos ⁡ x d x = π 2 4   -   - 1 4 ln ⁡ 1   + 2 cos ⁡ x +   C

= π 2 4   +   1 4 l n | 1   +   2 c o s ( x ) |   + C

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:

∫ 0 π 2 arccos ⁡ cos ⁡ x 1 + 2 cos ⁡ x d x = π 2 4 +   1 4 ln ⁡ 1   + 2 cos ⁡ π 2 - π 2 4   +   1 4 l n | 1   +   2 c o s ( 0 ) |

=   �� 2 4   +   1 4 l n 1   +   2 0   -   π 2 4   +   1 4 l n 1   +   2 1

=   π 2 4   +   1 4 l n 1     -   π 2 4 +   1 4 l n 3

=   π 2 4 +   0   -   π 2 4 + l n 3 4

= π 2 4   - π 2 4   - l n 3 4

=   - l n 3 4

Passo 7

Agora, substituímos o valor de - l n ( 3 ) / 4 na equação original:

- l n 3 4   = 5 π 2 24

Para resolver essa equação, multiplicamos ambos os lados por - 24 :

l n ( 3 )   =   - 5 π 2 24 .

Agora, exponenciamos ambos os lados para isolar o l n ( 3 ) :

3   =   e - 5 π 2 24

Resposta

Demonstração nos passos.

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