Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

2a) Calcule ∫ t 2018 ln ⁡ t   d t

Passo 1

Essa integral talvez assuste. Um polinômio de grau 2018 ? Bem grande né? Como tempos um polinômio multiplicado por um logarítimo dentro da integral, talvez seja interessante a gente tentar uma integração por partes. Mas cuidado! Se fizermos:

u = t 2018 → d u = 2018   t 2017   d t

ln ⁡ t   d t = d v → v = ∫ ln ⁡ t   d t

Vai ficar meio complicado né? Então vamos tentar inverter quem chamar de u . Vamos ficar com:

u = ln ⁡ t → d u = 1 t   d t

t 2018   d t = d v → v = t 2019 2019

Seja a fórmula da integração por partes dada por:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Vamos ter:

∫ t 2018 ln ⁡ t = ln ⁡ t ∙ t 2019 2019 -   ∫ t 2019 2019 ∙ 1 t   d t

∫ t 2018 ln ⁡ t = t 2019 ∙ ln ⁡ t 2019 - 1 2019 ∫ t 2018   d t

∫ t 2018 ln ⁡ t = t 2019 ∙ ln ⁡ t 2019 - 1 2019 ∙ t 2019 2019

O que, no final das contas, adicionando a famosa e querida constante de integração, dá:

∫ t 2018 ln ⁡ t = t 2019 ∙ ln ⁡ t 2019 - t 2019 2019 2 + C

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Resposta

∫ t 2018 ln ⁡ t = t 2019 ∙ ln ⁡ t 2019 - t 2019 2019 2 + C

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