Calcule:

p )   ∫ y ln ⁡ ( y ) d y

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Saca só, para resolver esta questão vamos utilizar uma integração por partes! Aqui não terá muito segredo, precisaremos identificar algumas primitivas e lembrar de algumas derivadas, mas vamos com calma que vai dar tudo certo!

Bora Bora!

Passo 2

Vamos tentar utilizar o método de integração por partes, para isso vamos lembrar da regra LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica, Exponencial) que nos dá a ordem de prioridade na escola de u na seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u           ( 1 )

Vamos tentar aplicar o método! Saca só!

Passo 3

Podemos escolher u = ln ⁡ ( y ) , de forma que d u = 1 y d y . Também temos que d v = y d y , o que nos leva a v = y 3 2 3 / 2 = 2 3 y 3 / 2 . Vamos substituir estes resultados na equação (1), temos que:

∫ ln ⁡ ( y ) y d y = 2 3 y 3 / 2 ln ⁡ ( y ) - 2 3 ∫ y 3 2 y d y = 2 3 y 3 / 2 ln ⁡ ( y ) - 2 3 ∫ y 1 / 2 d y

A integral que resta pode ser resolvida utilizando a seguinte primitiva:

∫ y 1 / 2 d y = y 1 2 + 1 1 2 + 1 = 2 3 y 3 / 2

Note que fizemos o mesmo quando obtivemos o valor de v !!! Vamos só escrever o resultado final agora!

Passo 4

Juntando tudo que obtivemos, temos que:

∫ ln ⁡ ( y ) y d y = 2 3 y 3 / 2 ln ⁡ ( y ) - 4 9 y 3 2 + C

Não esqueça da constante de integração, belezinha? A alternativa foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

∫ ln ⁡ ( y ) y d y = 2 3 y 3 / 2 ln ⁡ ( y ) - 4 9 y 3 2 + C

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