Calcule, caso exista, cada item abaixo

c )   ∫ x ln ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa integral aqui

∫ x ln ⁡ ( x ) d x

E pediu para resolvermos! Ué, mas por onde começar? Olhando sempre na tabela! Se você logo de cara não identificar uma fórmula que se adeque, então precisamos usar alguma técnica!

Beleza? Como não encontramos nenhuma fórmula da tabela, vamos aos métodos! Começando pelo método da substituição: nele a gente tenta encontrar uma parte do integrando para chamar de u e que o restante do integrando tenha a sua derivada d u

Mas não temos nada isso não é? E agora?

O próximo método que você vai tentar é o: método de integração por partes

Nesse método você vai escolher no integrando uma parte para ser u e outra para ser d v . O método nos diz que a integral de ∫ u d v é

∫ u d v = u v - ∫ v d u

A ideia é transformar a integral cabeluda do lado esquerdo, em uma mais simples do lado direito.

E é esse método que vamos aplicar aqui! (os outros falam sobre integrandos com produto de trigonométricas e de razão e polinômios, então é esse por partes mesmo que vamos usar!) Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Agora nossa missão é integrar essa coisa!

∫ x ln ⁡ ( x ) d x

Como vimos nessa lista, integrais que tem como integrando o produto de uma função trigonométrica inversa a gente resolve pelo método: integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

e como escolher quem é u e quem é d v ? E aqui vai um truque super útil: seguir a tabelinha do LIATE

É o seguinte: vamos escolher o u nessa ordem: LIATE

  1. L: logarítmica ln ⁡ x
  2. I: inversa trigonométrica a r c s e n x ,   a r c t g x …
  3. A: algébrica x n
  4. T: trigonométrica s e n x , cos ⁡ x …
  5. E: exponencial ( e x )

No nosso caso u = ln ⁡ x e d v = x   d x , assim

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

d v = x d x → v = x 2 2

E aplicando por partes na nossa integral temos:

∫ x ln ⁡ ( x )   d x = x 2 2 ln ⁡ ( x ) - ∫ x 2 2 . 1 x d x = x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 ∫ x d x

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Agora nossa missão é encontrar aquela integral da direita! Mas calma, vai dar bom! Confia!

Passo 3

Chegamos a esse resultado aqui

1 2 ∫ x d x

Agora nossa integral recaiu em outra integral! E nela vamos usar a tabela mesmo!

= 1 2 x 2 2 = x 2 4    

Beleza? Agora vamos retornar ao nosso resultado e juntar tudo!

Passo 4

Do passo 2 :

∫ x ln ⁡ ( x )   d x = x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 ∫ x d x

Do passo 3

1 2 ∫ x d x = x 2 4

Agora é só substituir (e somar a constante de integração!):

∫ x ln ⁡ ( x )   d x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x