Calcule:

j )   ∫ e 3 z cos ⁡ ( 4 z ) d z

Passo 1

Pronto para outra? Bora que bora!!!

Essa questão utiliza o método de integração por partes! No entanto, será necessário aplicar o método duas vezes e identificar que esta é uma integração por partes cíclica! Na qual poderemos identificar a integral original e isolá-la! Saca só!

Passo 2

Essa integral tem um formato usual para ser resolvida por partes! Vamos lembrar da seguinte regrinha: LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica, Exponencial), que nos dá uma ordem interessante para escolha de nosso u , na fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u           ( 1 )

A regra do LIPTE nos indica a escolha:

u = cos ⁡ ( 4 z )   e   d u =   - 4 sin ⁡ ( 4 z )

E também:

d v = e 3 z d z           e           v = 1 3 e 3 z

Vamos aplicar isso na equação (1)! Vem comigo!

Passo 3

Temos que:

∫ cos ⁡ ( 4 z ) e 3 z d z = 1 3 cos ⁡ ( 4 z ) e 3 z + 4 3 ∫ e 3 z sin ⁡ ( 4 z ) d z           ( 2 )

Parece que ficou pior, mas, tenha esperança! Vamos tentar aplicar a equação (1) e a regra do LIPTE mais uma vez para a integral que apareceu!! Bora lá!

Passo 4

Temos que:

u = sin ⁡ ( 4 z )           e           d u = 4 cos ⁡ ( 4 z )

E também que:

d v = e 3 z d z           e             v = 1 3   e 3 z

De forma que a equação (1), resulta em:

∫ sin ⁡ ( 4 z ) e 3 z d z = 1 3 sin ⁡ ( 4 z ) e 3 z - 4 3 ∫ e 3 z cos ⁡ 4 z d z

Para ver como isso nos ajudou, vamos pegar esta expressão e substituir na equação (2), beleza?

Passo 5

Fazendo a substituição que citei temos:

∫ cos ⁡ ( 4 z ) e 3 z d z = 1 3 cos ⁡ ( 4 z ) e 3 z + 4 3 1 3 sin ⁡ ( 4 z ) e 3 z - 4 3 ∫ e 3 z cos ⁡ ( 4 z ) d z

Note que a integral que está dentro dos colchetes é exatamente igual a integral que queríamos resolver inicialmente! Isso é fenomenal porquê podemos fazer o seguinte:

∫ e 3 z cos ⁡ ( 4 z ) d z + 16 9 ∫ e 3 z cos ⁡ ( 4 z ) d z = 1 3 cos ⁡ ( 4 z ) e 3 z + 4 9 sin ⁡ ( 4 z ) e 3 z

Temos então que:

25 9 ∫ e 3 z cos ⁡ ( 4 z ) d z = 1 3 cos ⁡ ( 4 z ) e 3 z + 4 9 sin ⁡ ( 4 z ) e 3 z

Ou seja, temos que:

∫ e 3 z cos ⁡ ( 4 z ) d z = 3 25 cos ⁡ ( 4 z ) e 3 z + 12 25 sin ⁡ ( 4 z ) e 3 z + C

Não esquece da constante de integração, beleza? A alternativa foi isso! Te vejo jajá!!!

Resposta

∫ e 3 z cos ⁡ ( 4 z ) d z = 3 25 cos ⁡ ( 4 z ) e 3 z + 12 25 sin ⁡ ( 4 z ) e 3 z + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x