10.2 Calcule as integrais

c) ∫ t 1 8 ln ⁡ t d t

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ t 1 8 ln ⁡ t d t .

Como temos a multiplicação de duas funções, vamos usar integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Quando integramos por partes e tem um ln lá no meio, escolhemos ela pra ser a função que vamos derivar:

u = ln ⁡ t → d u = 1 t d t

d v = t 1 8 → v = t 1 8 + 1 1 8 + 1 → v = 8 t 9 8 9

Então:

  ∫ t 1 8 ln ⁡ t d t = 8 9 t 9 8 ln ⁡ t - ∫ 8 t 9 8 9 1 t d t

= 8 9 t 9 8 ln ⁡ t - 8 9 ∫ t 9 8 t d t

= 8 9 t 9 8 ln ⁡ t - 8 9 ∫ t 1 8 d t

= 8 9 t 9 8 ln ⁡ t - 8 9 8 t 9 8 9

= 8 9 t 9 8 ln ⁡ t - 64 81 t 9 8

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= 8 9 t 9 8 ln ⁡ t - 64 81 t 9 8 + C

Resposta

8 9 t 9 8 ln ⁡ t - 64 81 t 9 8 + C

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