1. Calcule as integrais abaixo:

∫ 4 x - 27 x 2 - x - 6 d x

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Partiu resolver mais uma questão pra arrasar na prova?

Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função aí, mas eu já te adianto que essa não é uma função muito simples de se integrar diretamente. Por isso, uma coisa que podemos fazer antes de começar a integração é tentar melhorar um pouco a cara dessa função e só depois tentar integrar.

Vamos fazer isso abrindo essa função em frações parciais.

Vem comigo ver como fica.

Passo 2

Para reescrever a função em frações parciais, a primeira coisa que devemos fazer é fatorar o denominador. Assim:

4 x - 27 x 2 - x - 6

Como ele é formado pelo polinómio de segundo grau

x 2 - x - 6

Podemos escrevê-lo na forma

x - x 1 x - x 2

Onde x 1 e x 2 são as raízes da equação x 2 - x - 6 = 0

Então, fazendo

∆ = - 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 6

∆ = 1 + 24

∆ = 25

x = - - 1 ± 25 2 ⋅ 1

As raízes serão:

x 1 = 1 + 5 2 = 3

x 2 = 1 - 5 2 = - 2

Assim, podemos reescrever

x 2 - x - 6

Na forma

x - 3 x + 2

E a nossa função se torna

4 x - 27 x 2 - x - 6 = 4 x - 27 x - 3 x + 2

Show. Agora a ideia é a gente conseguir separar essa função em frações parciais. Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 3

Como temos dois fatores no denominador, buscamos duas frações do tipo:

4 x - 27 x - 3 x + 2 = A x - 3 + B x + 2

E precisaremos descobrir quem é A e quem é B . Para isso vamos tirar o m.m.c. entre x - 3 e ( x + 2 ) , que é o próprio x - 3 x + 2 , dividir por quem está embaixo e multiplicar por quem está em cima. Ficando com:

A x + 2 A + B x - 3 B x - 3 ( x + 2 )

Igualando as duas relações

4 x - 27 x - 3 x + 2 = A x + 2 A + B x - 3 B x - 3 ( x + 2 )

E cortando a parte de baixo, ficamos com:

4 x - 27 = A x + 2 A + B x - 3 B

Agora vamos igualar os termos semelhantes

4 x = A x + B x

E

- 27 = 2 A - 3 B

Isso leva ao sistema:

{ A + B = 4   2 A - 3 B = - 27  

Isolando A na primeira equação

A = 4 - B

E substituindo na segunda equação:

2 4 - B - 3 B = - 27

8 - 5 B = - 27

E encontramos:

B = 7

E

A = - 3

Agora que temos A e B podemos reescrever nossa função como sendo:

4 x - 27 x - 3 x + 2 = - 3 x - 3 + 7 x + 2

Sei que essa parte é chatinha, mas ao fazer isso nós transformamos aquela função complicada de integrar em duas bem mais simples. Então o que nos resta é integrar essas funções que encontramos. Bora fazer isso.

Passo 4

Nossa integral era

∫ 4 x - 27 x 2 - x - 6 d x

E se transformou em

∫ - 3 x - 3 + 7 x + 2 d x

Podemos separar as integrais e colocar as constantes para fora:

- 3 ∫ d x x - 3 + 7 ∫ d x x + 2

E agora é só integrar.

Passo 5

Basta usarmos a substituição simples em cada uma das integrais.

Vamos fazer isso com a primeira tomando

∫ d x x - 3

E fazendo

u = x - 3

E

d u = d x

Assim

∫ d x x - 3 = ∫ d u u = l n l n   u  

Voltando para x ficamos com:

∫ d x x - 3 = l n l n   x - 3  

E de forma análoga podemos resolver a segunda integral

Passo 6

Fazendo

∫ d x x + 2

Com u = x + 2

E

d u = d x

Assim

∫ d x x + 2 = ∫ d u u = l n l n   u  

Voltando para x ficamos com:

∫ d x x + 2 = l n l n   x + 2  

Agora encaixamos nos resultados.

Passo 7

Juntando tudo, temos:

- 3 ∫ d x x - 3 + 7 ∫ d x x + 2

- 3 l n l n   x - 3 + 7 l n l n   x + 2     + c

E tcharam!!!

Integral resolvida!

Agora pega esse pique é bora para próxima questão. 😉

Resposta

∫ 4 x - 27 x 2 - x - 6 d x = - 3 l n l n   x - 3 + 7 l n l n   x + 2     + c

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